чётные и нечётные Монотонность

1.

Определение
Функция y=f (x) называется чётной, если:
1) D (f) симметрична относительно нуля;
2) для любого х Є D (f) верно равенство: f (-x) = f (x).
Функция y=f (x) называется нечётной, если:
1) D (f) симметрична относительно нуля;
2) для любого х Є D (f) верно равенство: f (-x) = - f (x).
Выяснить является ли функция чётной или нечётной:
y (х) = 5 x²- |X|
Решение: D (y) = R
y (- x)=
=5 (- x)² - |- x| =
= 5 x² - |x|=
= y (x)
Значит, функция чётная
у(х) = 7x +x³
Решение: D (y) = R
y (- x)=
= 7(- x) +(- x)³=
= - 7 x - x³ =
= - (7x +x³)
= - y (x)
Значит, функция нечётная

2.

3.

Свойство графиков
чётных функций
По определению:
если функция – чётная, то противоположным значениям х
соответствуют равные значения у.
Вывод: 1) область определения симметрична относительно точки (0; 0);
2) график чётной функции состоит из точек, симметричных
относительно оси ординат.
График чётной функции симметричен
относительно оси ординат.

4.

Свойство графиков
нечётных функций
По определению:
если функция – нечётная, то противоположным значениям х
соответствуют противоположные значения у.
Вывод:1) область определения симметрична относительно точки (0; 0);
2)график нечётной функции состоит из точек, симметричных
относительно начала координат.
График нечётной функции симметричен
относительно начала координат.

5.

Чётные функции
Нечётные функции
у
у
y = x²-1
y = x³
х
0
y = |x|
х
0
у
у
y=
0
0
х
Симметрия относительно оси Оy
Симметрия относительно
начала координат
х

6.

Четная функция
Нечетная функция
у
у
х
-x
x
-x
х
x
f(-x) = f(x)
f(-x) = – f(x)

7.

Существуют функции, которые не обладают
свойствами чётности или нечётности.
у (х) = х2 + 5х
D (y) = R
у ( - х ) = ( - х)2 +5 (- х) = х2 – 5 х
у(-х)
у (х )
у(-х)
- у (х )
Значит, данная функция не является ни чётной, ни нечётной.

8.

Определение возрастающей функции
Функция называется возрастающей в некотором
промежутке, если большему значению аргумента из
этого промежутка соответствует большее значение
функции
Должны выполняться условия:
Е сли х 2 x1 , т о f ( x 2 ) f ( x1 )
или
Е сли х 2 x1 , т о f ( x 2 ) f ( x1 )

9.

Определение убывающей функции
Функция называется убывающей в некотором
промежутке, если большему значению аргумента из
этого промежутка соответствует большее значение
функции
Должны выполняться условия:
Е сли х 2 x1 , т о f ( x 2 ) f ( x1 )
или
Е сли х 2 x1 , т о f ( x 2 ) f ( x1 )

10.

Доказать, что функция
y = 2 х + 5,
является возрастающей.
Доказательство
П уст ь х 2 x1 . f ( х 2 ) = 2 x 2 + 5; f ( х1 ) = 2 x1 + 5 .
Найдем разност ь f ( х 2 ) − f ( x )
f ( х 2 ) − f ( x1 ) = 2 x 2 + 5 − ( 2 x1 + 5 ) =
= 2 x 2 + 5 − 2 x1 − 5 = 2 x 2 − 2 x1 =
= 2 ( x 2 − x1 ) 0 , т ак как x 2 x1 и 2 0 .
То ест ь f ( х 2 ) − f ( x1 ) 0 f ( х 2 ) f ( x1 ).
Тогда f ( x ) − возрастающ ая функция
по определени ю. Ч .т.д

11.

Эталоны:
1.Функция f(x) называется возрастающей на множестве
X, если для любых двух значений аргумента x1 и x2
множества X, таких, что х2 > х1, выполняется
неравенство f (х2)>f (х1).
2.Функция f(х) называется убывающей на множестве
Х, если для любых двух значений аргумента х2 > х1,
выполняется неравенство f(х2) < f (x1).
3.Функцию, возрастающую на множестве Х или
убывающую на множестве Х, называют монотонной на
множестве Х.

12.

Свойства монотонных функций :
1.Монотонная функция каждое своё значение принимает лишь при
одном значении аргумента.
2.Если функция y = f(x) является возрастающей (убывающей), то
функция y = - f(x) является убывающей (возрастающей).
3.Сумма двух возрастающих функций является возрастающей
функцией, а сумма двух убывающих функций является убывающей
функцией.
4.Если обе функции f и g возрастающие или обе убывающие, то
функция φ(x) = f(g(x)) – возрастающая функция.
5.Если функция y = f(x) монотонна на множестве X и сохраняет на этом
множестве знак, то функция g(x) = 1/f(x) на множестве X имеет
противоположный характер монотонности.