2_5386712935710109313

1.

Дробно-рациональные
выражения и функция y =
k/x
Урок алгебры · 8 класс

2.

Повторение: Замена дробно-рациональных
выражений
Основные правила
Основное
свойство
дроби
Сокращение
дробей
Общий
знаменатель
(6x²)/(9x) = (2x)/3 —
Необходим для
Числитель и
делим числитель и
сложения и
знаменатель
знаменатель на 3x.
вычитания дробей
можно умножить
с разными
или разделить на
знаменателями.
одно и то же число,
не равное нулю.

3.

Тождественные преобразования
Разложение на множители
Сокращение
Проверка ОДЗ
Раскладываем числитель и
(x² − 4)/(x − 2) = (x + 2) при x ≠ 2
Обязательно определяем область
знаменатель на множители, чтобы
допустимых значений — значения,
найти общие.
при которых выражение
определено.
Всегда указывайте ОДЗ — это исключает деление на ноль!

4.

Введение в функцию y =
k/x
Определение
Область определения
Обратная
Все действительные числа,
пропорциональность, где k —
кроме x = 0 — при x = 0
коэффициент
деление невозможно.
пропорциональности. При k ≠
0 функция определена.
Область значений
Все действительные числа, кроме y = 0 — функция никогда не
обращается в ноль.

5.

Свойства функции y = k/x
Ключевые характеристики
Асимптоты
Симметрия
Оси координат: x = 0 и y = 0 — график бесконечно
приближается, но не пересекает их.
График симметричен относительно начала координат
— центральная симметрия.

6.

График функции y = k/x — гипербола
Расположение ветвей
k>0
k<0
Влияние |k|
Ветви гиперболы
Ветви гиперболы
Чем больше |k|, тем
расположены в I и
расположены во II
дальше ветви от
III четвертях.
и IV четвертях.
осей координат —
Функция убывает
Функция
гипербола
на каждом
возрастает на
«растягивается».
промежутке.
каждом
промежутке.

7.

Применение в реальной жизни
Физика
Экономика
Производство
Путешествия
Закон Ома U = IR, давление
При фиксированной
Производительность труда
При фиксированном
газа P = nRT/V — обратная
стоимости: чем больше цена
и время выполнения работы
расстоянии: скорость ×
зависимость между
единицы, тем меньше
— при росте одного
время = const. Увеличь
переменными.
количество товара.
снижается другое.
скорость — уменьши время.

8.

Самостоятельная работа
1
Упростить выражение
(x² − 9) / (x + 3)
2
Найти значения функции
y = 12/x при x = 3, x = −4, x = 0,5
3
Монотонность
Определить, возрастает или убывает функция y = −8/x
4
Построить график
График функции y = 6/x и указать асимптоты

9.

Домашняя работа
Задания
1
Сократить дроби
(2x² + 4x)/(6x) и (a² − 1)/(a − 1)
2
Решить уравнение
15/x = 3
3
Исследовать функцию
y = −10/x: область определения, монотонность, асимптоты
4
Задача-размышление
Если скорость автомобиля 60 км/ч, как изменится время при увеличении
скорости в 2 раза?

10.

Ключевые выводы
Дробно-рациональные
выражения
Функция y = k/x
Реальные применения
Обратная пропорциональность,
Физика, экономика, производство,
Упрощаются через разложение на
график — гипербола с
транспорт — обратная
множители и сокращение с
асимптотами по осям координат.
зависимость встречается
обязательной проверкой ОДЗ.
повсюду.
Математика — это язык, на котором написана книга природы. Понимая функции, мы понимаем мир вокруг нас.