Предел функции (11 класс)

1.

2.

Предел функции
–
одно
из
основных
понятий
математического анализа. Понятие предела использовалось
еще Ньютоном во второй половине XVII века и математиками
XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж, однако они понимали
предел интуитивно. Первые строгие определения предела дали
Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.

3.

Рассмотрим функции, графики
которых изображены на следующих
рисунках:
y f (x)
y f (x)
y f (x)
Во всех трех случаях изображена одна и та же кривая, но все
же изображают они три разные функции, отличающиеся друг
от друга своим поведением в точке
x a .
Рассмотрим каждый из этих графиков подробнее:

4.

Для функции
y f (x) ,
график которой изображен на
y f (x)
этом рисунке, значение f (a )
не существует, функция
в указанной точке не
определена.

5.

Для функции
y f (x)
график которой изображен
, на
этом рисунке, значение f (a )
существует, но оно
отличное от, казалось бы,
y f (x)
естественного значения
точка (a, b) как бы
выколота.
b,

6.

Для функции
y f (x) ,
график которой изображен на
этом рисунке, значение f (a )
y f (x)
существует и оно вполне
естественное.

7.

Для всех трех случаев используется одна и
та же запись:
lim f ( x) b,
x а
которую читают: «предел функции y f (x) при
стремлении x к a равен b ».
Содержательный смысл этой фразы следующий: если значения
аргумента выбирать все ближе и ближе к значению
x a, то значения функции все меньше и меньше
отличаются от предельного значения b.
Или можно сказать так: в достаточно малой окрестности
точки a справедливо приближенное равенство:
f ( x) a
При этом сама точка x a исключается из рассмотрения.

8.

Прежде чем перейти к разбору решений
примеров заметим, что если предел функции
y f (x) при стремлении х к
функции в точке
a равен значению
x a , то в таком случае
функцию называют непрерывной.
График такой функции представляет собой
сплошную линию, без «проколов» и «скачков».

9.

Функцию y f (x)
называют непрерывной
на промежутке
X , если она непрерывна в
каждой точке этого промежутка.
Примерами непрерывных функций на всей числовой
2
y
ax
by c,
y
kx
b
,
y
C
,
прямой являются:
y | x |, y x n , n ,
Функция
y x непрерывна на луче [0, ), а
n
y
x
, n непрерывна на промежутках
функция
( , 0) (0, ).

10.

Число В называется пределом
функции в точке а, если для всех
значений х , достаточно близких к а
и отличных от а, значение функции
f (x) сколь угодно мало отличается
от В.
lim f ( x ) b
x a

11.

12.

Функция α (x) называется бесконечно малой при x → a
(здесь a – конечное число или ∞), если
Функция f(x) называется бесконечно большой функцией
(или бесконечно большой величиной) при х→а, если
lim f ( x)
x a

13.

х →0
х
1
х
1
у 0
х
Таким образом, величина, обратная
бесконечно малой, есть бесконечно
большая, и наоборот.

14.

lim ( f ( x) g ( x)) lim f ( x) lim g ( x)
x x0
x x0
x x0

15.

lim C C
x x0

16.

lim ( f ( x) g ( x)) lim f ( x) lim g ( x)
x x0
x x0
x x0

17.

lim f ( x)
f ( x) x x0
lim
, если _ lim g ( x) 0
x x0 g ( x)
x x0
lim g ( x)
x x0

18.

lim (k f ( x)) k lim f ( x)
x x0
x x0

19.

lim ( z ) (lim z)
n
x a
x a
n

20.

Вычисление
lim
f
(
x
)
A
x x0
предела:
начинают с подстановки предельного значения x0 в функцию f(x).
Если при этом получается конечное число, то предел равен этому
числу.
3x 1 3 1 1 2
lim
2
2
x 1
1
x
Если при подстановки предельного
значения x0 в функцию f(x) получаются
выражения вида:
то предел будет равен:
C
0
C
0

21.

Вычислить пределы:
lim ( x 2 7 x 4) 32 7 3 4 8;
x 3
x2 4
( x 2)( x 2)
x 2
lim 2
lim
lim
2;
x 2 x 2 x
x 2
x 2
x( x 2)
x
3
2( x 2)( x )
2 x 2 7 x 6 ( 0 / 0)
2x 3
2
lim
lim
lim
;
2
2
x 2
x 2
x 2 x 2
( x 2)
( x 2)

22.

Примеры

23.

Часто при подстановке предельного значения x0 в
функцию f(x) получаются выражения следующих
видов:
0
;
0
;
Эти выражения называются
а
вычисление пределов в этом случае называется
.

24.

3x 2 x 0 0 0
lim 2
x 0 2 x 5 x
0 0 0
2
0 с с
, ,
0 0
Раскрыть соответствующую
неопределенность - это значит найти
предел (если он существует)
соответствующего выражения, что, однако
не всегда просто

25.

В большинстве случаев, чтобы раскрыть
неопределенность вида 0 , достаточно
0
числитель и знаменатель дроби разделить на
множители, и затем сократить на множитель,
приводящий к неопределенности.

26.

3x 2 x 0
lim 2
x 0 2 x 5 x
0
2
Разложим числитель и знаменатель на
множители:
x 3x 2
3x 2 2
lim
lim
x 0 x 2 x 5
x 0 2 x 5
5

27.

lim 4 x
4x
4*0
0
x 0
lim 2
2
x 0 3 x 2 x
lim 3x 2 x 3 * 0 2 * 0 0
x 0
4x
4
4
lim
lim
2.
x 0 x 3 x 2
x 0 3 x 2
3* 0 2

28.

Чтобы раскрыть неопределенность
данного вида, зависящую от
иррациональности, достаточно
перевести иррациональность
(или иррациональности) из числителя в
знаменатель или из знаменателя в
числитель и сократить на множитель,
приводящий к неопределенности.

29.

Раскрытие неопределенности
0
0
x 2 14 x 32
0
x 2 x 16
lim
lim
2
x 2
x 2
x 6x 8
0
x 2 x 4
x 16 18
lim
9
x 2
x 4
2
Если f(x) – дробно –
рациональная
x 1 1 x 1 1
0
x 1 1 функция,
необходимо разложить
наlim
lim
Если f(x) – иррациональная
x 0
x 0
0
x
множители
числитель
и
x 1 умножить
1
дробь, x
необходимо
знаменатель дроби
числитель и знаменатель
x 1 1
1дроби на выражение,
1
lim
lim
числителю.
x 0
x 0
сопряженное
x x 1 1
x 1 1 2

30.

x 1
lim 2
x 1 x 1
x 3x 1
lim
1
x 0
x 4
2x3 2x 2
lim 3
x 0 5 x 4 x 2
x 2 5 x 10
lim
x 5
x 2 25
4 x 3 3x 2
lim
x 0 2 x 2 5
x 3
lim 2
x 3 x 9
3
1 x2
lim
x 0 1 2 x 2
lim 2 x 2 3x 4
x 2
3
x 1
lim
x 4
x 1
lim
x 6
3 x 3
2
2
x
x 15
x 6x 5
lim
lim
2
x 3 3 x 2 5 x 12
x 5
x 25
2
lim 7 x 2 4 x 3 5 x 1
x 1
6 x