Лекция 12. Элементы векторной алгебры

1. Элементы векторной алгебры

1. Основные понятия
2. Линейные операции над векторами
3. Проекция вектора на ось

2.

Историческая справка

3.

4.

5.

1. Основные понятия

6.

?1
Величина, которая полностью определяется
своими
численным
значением,
называется
скалярной.
Величина, которая определяется численным
значением и направлением, называется векторной.
Вектором называется направленный отрезок
(т.е. отрезок, имеющий длину и направление).

7.

Обозначения:
В
А
Конец
вектора
Начало
вектора

8.

Вектор
вектору
.
В
называется противоположным
.
Конец
вектора
Начало
вектора
А
В
А
Начало
вектора
Конец
вектора

9.

?1
Длиной (модулем) вектора называется расстояние
между началом и концом вектора.
В
А

10.

?1
Вектор, длина которого равна нулю (т.е.
начало и конец совпадают), называется
нулевым вектором: .
Нулевой вектор направления не имеет.
M

11.

?1
Вектор, длина которого равна единице,
называется единичным вектором:
Единичный вектор, направление которого
совпадает с направлением вектора
называется ортом вектора :
,

12.

Векторы называются коллинеарными,
если они расположены на одной или
параллельных прямых
.
Нулевой вектор считается коллинеарным
любому вектору.

13.

Сонаправленные коллинеарные векторы
c
b
a
a
b
c
b
c
a

14.

Противоположно направленные векторы
c
b
a
a
b
c
b

15.

Векторы
Свободные
Скользящие
Связанные

16.

?1
Свободные векторы называются равными,
если они сонаправлены и имеют одинаковые
длины.
a
b

17.

Свободный вектор можно переносить параллельно
самому себе, помещая его начало в любую точку
пространства.
a

18.

?1
Скользящие векторы называются равными,
если они сонаправлены, имеют одинаковые
длины и расположены на одной прямой.
a
b

19.

Скользящий вектор можно переносить только вдоль
прямой, на которой он расположен.
a

20.

?1
Связанные векторы называются равными,
если они сонаправлены, имеют одинаковые
длины и общую точку приложения.
a
b

21.

Три вектора в пространстве называют
компланарными, если они лежат в одной
плоскости или в параллельных плоскостях.
a
b
с

22.

Если начала
компланарных векторов
перенести в одну точку, то они окажутся
расположенными в одной плоскости.
a
b
с

23.

Коллинеарные векторы всегда компланарны.
a
b
с

24.

Не все компланарные векторы коллинеарны.
a
b
с

25.

Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два
любых коллинеарны, то такие векторы компланарны.
b
a
с

26.

2. Линейные операции
над векторами
2.1. Сложение векторов
2.2. Умножение вектора на число

27.

28.

2.1. Сумма векторов
a
b
О
Правило треугольника
с

29.

2.1. Сумма векторов
a
b
с
О
Правило параллелограмма

30.

2.1. Сумма векторов

31. 2.2. Произведение векторов

a
3a
O

32. 2.2. Произведение векторов

Произведением a вектора a на число называют вектор,
• коллинеарный вектору a ,
• имеющий длину, равную a ,
• направление, совпадающее с направлением a при > 0
и противоположное a при < 0.
a
-3a
O

33. Свойства:

.

34. Свойства:

.

35. Свойства:

3)
4)
.

36. Свойства:

Непосредственно из определения умножения на
число следует, что векторы в левой и правой
частях
равенства
имеют
и
одинаковое
направление, и одинаковую длину.

37. Свойства:

Требуемое равенство
треугольников
следует
из
подобия

38. Свойства:

39. Разность векторов

40.

3. Проекция вектора
на ось

41. ?3

Проекцией точки М на ось l называется
основание М1 перпендикуляра ММ1
опущенного из точки на ось.

42. ?3

Точка М1 – есть точка пересечения оси l
с плоскостью, проходящей через точку М
перпендикулярно оси.

43.

А
В
А1
В1
l

44.

А
l
В
А1
В1

45.

В
А
l
А1= В1

46.

47.

Углом между векторами называется
наименьший угол, образуемый векторами при
совмещении их начал.
Два вектора называются ортогональными, если
угол между ними равен 900.

48. Свойство1

49. Свойство1. Доказательство:

50. Свойство1. Доказательство:

51. Свойство1. Доказательство:

a
l

52. Свойство1. Следствия:

• 1.1. Проекция вектора на ось положительна
(отрицательна), если вектор образует острый
(тупой) угол и равна 0, если этот угол прямой.
• 1.2. Проекции равных векторов на одну и ту же
ось равны между собой.

53. Свойство 2

Проекция суммы нескольких векторов на
одну и ту же ось равна сумме их проекций на
эту ось.

54. Свойство 2. Доказательство:

55. Свойство 3

56. Свойство 3. Доказательство:

0
0
=0