Лекция 7. Элементы релятивистской механики

1.

Элементы релятивистской механики
1. Принцип относительности и преобразования Галилея.
2. Постулаты теории относительности Эйнштейна.
Преобразования Лоренца.
3. Следствия преобразований Лоренца.
3.1. Относительность длины.
3.2. Относительность времени.
3.3. Закон сложения скоростей.
4. Понятие о релятивистской динамике.
4.1. Релятивистский импульс.
4.2. Полная энергия частицы.

2. 1. Принцип относительности и преобразования Галилея.

Принцип относительности Галилея: все механические явления во
всех инерциальных системах отсчета происходят одинаково.
υ ‒ скорость движения системы К’
относительно системы К.
К’ У’
К У
υ=const
X
Преобразования
координат и времени (υ<<c)
O
Z’
Z
К’ → К
x = x + t
y = y
z = z
t = t
M
К → К’
x = x − t
y = y
z = z
t = t
X’

3. 1. Принцип относительности и преобразования Галилея.

Правило сложения скоростей
u = u +
Скорость тела относительно неподвижной системы (u) отсчета
складывается из скорости движения относительно подвижной
системы (u’) и скорости самой подвижной системы отсчета (υ).
Закон преобразования ускорений
a = a
Закон преобразования расстояний
l = l
Инвариант – величина не меняющая своё числовое значение при
преобразованиях координат.
ИСО равноправны. Уравнения динамики формулируются одинаково.
Состояние покоя = Равномерное прямолинейное движение.

4. 2. Постулаты теории относительности Эйнштейна. Преобразования Лоренца.

1 Постулат. Принцип относительности. Никакие опыты
(механические, электрические, оптические), проведенные внутри
данной ИСО, не дают возможности обнаружить, покоится эта система
или движется равномерно и прямолинейно. Все законы природы
инвариантны по отношению к переходу от одной ИСО к другой.
Следствие. Все законы физики одинаковы во всех ИСО.
2 Постулат. Принцип инвариантности скорости света. Скорость
света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или
наблюдателя и одинакова во всех ИСО.
Постоянство скорости света – фундаментальное свойство природы,
которое констатируется как опытный факт.
Скорость света является универсальной константой. c =3·108 м/с

5. 2. Постулаты теории относительности Эйнштейна. Преобразования Лоренца.

Постулатам Эйнштейна удовлетворяют преобразования Лоренца – это
формулы преобразования координат и времени при переходе от одной
ИСО к другой. Эти преобразования переходят в преобразования
Галилея при скоростях υ << c.
К’ → К
x=
x + t
1−
у = у
z = z
x
t + 2
c
t=
1− 2
2
К → К’
x =
x − t
1− 2
y = y
z = z
=
c
t−
x
2
c
t =
1− 2

6. 3. Следствия преобразований Лоренца. 3.1. Относительность длины.

Длина стержня – разность координат,
измеренных одновременно в системе отсчёта.
Стержень расположен вдоль оси x‘ и покоится
относительно К‘. Относительно системы К ‒
движется.
l0 = x2 − x1 =
x2 − x1
1−
2
=
l
1− 2
При движении длина сокращается.
Длина стержня, измеренная в системе, относительно которой он
движется, меньше длины, измеренной в системе покоя.

7.

3. Следствия преобразований Лоренца.
3.2. Относительность времени.
Покой. ИСО К. Длительность события:
= t 2 − t1
Движение. ИСО К’.Длительность события:
= t 2 − t1
x
t1 − 12
c
t1 =
1− 2
= t 2 − t1 =
x2
t2 − 2
c
t 2 =
1− 2
t 2 − t1
1− 2
При движении время идет медленнее.
Длительность события, происходящего в некоторой точке наименьшая,
относительно которой эта точка неподвижна.

8.

3. Следствия преобразований Лоренца.
3.3. Закон сложения скоростей.
Система К΄ движется относительно К со скоростью υ.
Проекции скорости на оси в системах К и К΄ :
dx
ux =
dt
dy
uy =
dt
dz
uz =
dt
dx
dy
u x =
u y =
dt
dt
dz
u z =
dt
Релятивистский закон сложения скоростей:
К’ → К
ux =
u x +
u x
1+ 2
c
1− 2
u y = u y
u
1 + 2x
c
1− 2
u z = u z
u
1 + 2x
c
К → К’
ux −
ux =
u
1 − 2x
c
1− 2
u y = u y
u
1 − 2x
c
1− 2
u z = u z
u x
1− 2
c

9.

3. Следствия преобразований Лоренца.
3.3. Закон сложения скоростей.
Пример. Релятивистский закон сложения
скоростей подчиняется второму постулату СТО.
Точка движется параллельно оси х. Скорости
движения систем К и К’ совпадают. Закон
сложения скоростей :
Пусть u’ = c.
u −
u =
u
1− 2
c
u +
u=
u
1+ 2
c
c +
c +
c +
u=
= 2
=
=c
c
c (c + )
1 + 2 c + c
c
c2
c2
Скорость света в вакууме предельная. Ее невозможно превысить!

10. 4. Понятие о релятивистской динамике. 4.1. Релятивистский импульс.

Законы природы инвариантны при переходе от одной ИСО к
другой.
Масса тела (m – движущаяся ИСО,
m0 – покоящаяся ИСО).
Релятивистский импульс
m=
p = m =
Основной закон релятивистской динамики.
dp d (m ) d m
F=
=
=
dt
dt
dt 1 − 2
m0
1 − 2
m0
1 − 2 /c2

11. 4. Понятие о релятивистской динамике. 4.2. Полная энергия частицы.

Установим взаимосвязь массы и энергии. Определим формулу для
кинетической энергии тела.
По определению работы:
dp
m0 dr
dr
dA = Fdr =
dr = dp
= d
1 − 2 dt
dt
dt
Проинтегрируем. Получим выражение
для полной энергии свободной частицы
Для покоящейся частицы (υ=0) получаем
уравнение энергии покоя:
2
m0 c 2
1
1− 2
dA = E =
E0 = m0 c 2
= mc 2

12. 4. Понятие о релятивистской динамике. 4.2. Полная энергия частицы.

Связь полной энергии частицы и импульса:
E=
m0 c 2
1 − / c
2
2
2
2
E 1 − 2 = m02 c 4
c
2 4
m
2
0 c
E =
1 − 2 / c2
Инвариант имеет одно и тоже значение в
разных системах отсчета.
E 2 − p 2 c 2 = m02 c 4
2
2 2
E − p c = inv
Закон сохранения энергии для релятивистской частицы:
где Т – кинетическая энергия.
mc 2 = m0 c 2 + T
E = E0 + T