01 Вещественные числа

1. Раздел 4 Введение в математический анализ Вещественные числа

• Пространство вещественных чисел R
• Свойства вещественных чисел
• Типы множеств пространства R

2. Никто не станет учить ребенка считать, объясняя ему, что такое число. Вместо этого ему будут показывать двух собак, два яблока,

две книги, и постепенно он выделит свойство,
общее всем этим примерам, и сам выработает какое-то свое
представление о «числе».
Ян Стюарт
N = 1, 2, 3, 4,...
натуральные числа
Z = ..., −4, − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4,...
целые числа
m
Q = , m Z, n N
n
Ian Stewart
Род. 1945
Великобритания
рациональные числа
Раздел 4. Введение в математический анализ. Вещественные числа.
2

3.

2 Q
2
1
m
► Пусть 2 =
Q
n
несократимая дробь
1
2
m
2 = 2 m 2 = 2n 2 m 2 m = 2k
n
2
2
2
2
(2k ) = 2n n = 2k n 2
2 1,4
2 1,41
2 1,414
2 1,4142
◄
2 1,41421
Раздел 4. Введение в математический анализ. Вещественные числа.
3

4. Аксиоматическое построение пространства вещественных (действительных) чисел R.

Множество R вещественных (действительных)
чисел – множество математических объектов, на
котором установлены 2 операции: сложение и
умножение; установлено отношение порядка и
выполняется аксиома о точной верхней грани.
x, y R x + y R
x, y R x y R
1 . x y = y x
1 . x + y = y + x
A
коммутативность
2 . ( x y ) z = x ( y z ) ANY - любой
2 . ( x + y ) + z = x + ( y + z )
ассоциативность
3 . 1 R : x 1 = x
3 . 0 R : x + 0 = x
существование нейтрального элемента
4 . x R − x : − x + x = 0 4 . x R ( x 0) x −1 : x x −1 = 1
существование противоположного элемента
существование обратного элемента
5. ( x + y) z = x z + y z
Е
to EXIST - существовать
дистрибутивность умножения относительно сложения
Раздел 4. Введение в математический анализ. Вещественные числа.
4

5.

Леонардо Фибоначчи, в своем
сочинении "Liber abaci" (1202) называет
знак 0 по-арабски zephirum. Слово
zephirum – это арабское слово as-sifr,
которое произошло от индийского слова
sunya, т. е. пустое, служившего
названием нуля. От слова zephirum
произошло французское слово zero
(нуль) и итальянское слово zero. С
другой стороны, от арабского слова assifr произошло русское слово цифра.
Вплоть до середины XVII века это слово
употреблялось специально для
обозначения нуля. Латинское слово
nullus (никакой) вошло в обиход для
обозначения нуля в XVI веке.
http://www.looky.ru/publication.php?pub_...
Леонардо
Пизанский
Leonardo Pisano
Около 1170 – около 1250
Раздел 4. Введение в математический анализ. Вещественные числа.
5

6. Отношение порядка

x, y R x y y x
Аксиомы порядка
рефлексивность
1. x x
2. (x y ) ( y x ) (x = y )
антисимметричность
3. (x y ) ( y z ) (x z )
транзитивность
4. (x y ) (x + z y + z )
связь порядка и сложения
5. (0 x ) (0 y ) (0 x y )
связь порядка и умножения
6. 0 1, 0 1
Раздел 4. Введение в математический анализ. Вещественные числа.
6

7.

N = 1, 2, 3, 4,...
2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1,...
Z = ..., −4, − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4,...
m
Q = , m Z, n N
n
Ограниченные множества в пространстве R
X R ограничено сверху, если ∃