Арифметические основы работы компьютера

1.

Федеральное агентство железнодорожного транспорта
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждения
высшего образования
«Уральский государственный университет путей сообщения»
Колледж железнодорожного транспорта
Презентация на тему:
Арифметические основы работы
компьютера
Выполнила:
Студентка 1 курса
Группы Д-129(9)
Ахманаева Алёна Алексеевна
Проверила:
Ридингер Ирина Александровна

2.

СОВРЕМЕННЫЙ ЧЕЛОВЕК В ПОВСЕДНЕВНОЙ ЖИЗНИ ПОСТОЯННО СТАЛКИВАЕТСЯ С ЧИСЛАМИ И
ЦИФРАМИ - ОНИ С НАМИ ВЕЗДЕ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ ВСЕГДА, КОГДА
ПОЯВЛЯЕТСЯ ПОТРЕБНОСТЬ В ЧИСЛОВЫХ РАСЧЁТАХ, НАЧИНАЯ С ВЫЧИСЛЕНИЙ УЧЕНИКАМИ
МЛАДШИХ КЛАССОВ, ВЫПОЛНЯЕМЫХ КАРАНДАШОМ НА БУМАГЕ, ЗАКАНЧИВАЯ ВЫЧИСЛЕНИЯМИ,
ВЫПОЛНЯЕМЫМИ НА СУПЕРКОМПЬЮТЕРАХ.

3.

ЦИФРЫ—
СИСТЕМА ЗНАКОВ ДЛЯ ЗАПИСИ КОНКРЕТНЫХ
ЧИСЕЛ.
ЦИФРАМИ
НАЗЫВАЮТ
САМИ
ОТДЕЛЬНОСТИ
ОПИСЫВАЮТ
ОПРЕДЕЛЁННЫЕ ЧИСЛА (ТАК, НАПРИМЕР, ЗНАКИ
«−», «,» ХОТЬ
ЗНАЧЕНИЙ
ЗНАКИ,
КОТОРЫЕ
В
ТОЛЬКО
ТАКИЕ
И ИСПОЛЬЗУЮТСЯ ДЛЯ ЗАПИСИ ЧИСЕЛ, НО ЦИФРАМИ НЕ
ЯВЛЯЮТСЯ).
СЛОВО «ЦИФРА»
БЕЗ УТОЧНЕНИЯ ОБЫЧНО ОЗНАЧАЕТ ОДИН ИЗ
СЛЕДУЮЩИХ ДЕСЯТИ ЗНАКОВ:
«АРАБСКИЕ ЦИФРЫ»).
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (Т. Н.
СУЩЕСТВУЮТ ТАКЖЕ МНОГО ДРУГИХ ВАРИАНТОВ («АЛФАВИТОВ»):
• РИМСКИЕ ЦИФРЫ (I V X L C D M)
• ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНЫЕ ЦИФРЫ (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F)
• ЦИФРЫ МАЙЯ (ОТ 0 ДО 19)
В НЕКОТОРЫХ ЯЗЫКАХ, НАПРИМЕР, В ДРЕВНЕГРЕЧЕСКОМ, В ИВРИТЕ, В
ЦЕРКОВНОСЛАВЯНСКОМ, СУЩЕСТВУЕТ СИСТЕМА ЗАПИСИ ЧИСЕЛ БУКВАМИ
И ДР.
ВО МНОЖЕСТВЕННОМ ЧИСЛЕ В ОБИХОДНОЙ РЕЧИ СЛОВО «ЦИФРЫ»
ТАКЖЕ МОЖЕТ ОБОЗНАЧАТЬ «ЧИСЛОВЫЕ ДАННЫЕ», ТАК КАК ЛЮБОЕ
ЧИСЛО ЗАПИСЫВАЕТСЯ НАБОРОМ ЦИФР.

4.

Число — ОСНОВНОЕ ПОНЯТИЕ МАТЕМАТИКИ, ИСПОЛЬЗУЕМОЕ ДЛЯ КОЛИЧЕСТВЕННОЙ
ХАРАКТЕРИСТИКИ, СРАВНЕНИЯ, НУМЕРАЦИИ ОБЪЕКТОВ И ИХ ЧАСТЕЙ. ПИСЬМЕННЫМИ
ЗНАКАМИ ДЛЯ ОБОЗНАЧЕНИЯ ЧИСЕЛ СЛУЖАТ ЦИФРЫ, А ТАКЖЕ СИМВОЛЫ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ.
Основные числовые множества:
• НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
• ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА
• РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
• ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
• КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

5.

ОСНОВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА:
• НАТУРАЛЬНЫЕ
ЧИСЛА
(N)
—
ЧИСЛА,
ПОЛУЧАЕМЫЕ ПРИ ЕСТЕСТВЕННОМ СЧЁТЕ:(N)
{1,2, 3…)
=
• ЦЕЛЫЕ
ЧИСЛА
(Z)
—
ЧИСЛА,
ПОЛУЧАЕМЫЕ
ОБЪЕДИНЕНИЕМ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ С МНОЖЕСТВОМ
ЧИСЕЛ ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ НАТУРАЛЬНЫМ И НУЛЁМ,
ОБОЗНАЧАЮТСЯ
ЧИСЛО
{Z}= {...-2,-1,0,1,2...}. ЛЮБОЕ ЦЕЛОЕ
МОЖНО
НАТУРАЛЬНЫХ.
ПРЕДСТАВИТЬ
КАК
РАЗНОСТЬ
ДВУХ

6.

Основные числовые множества
ВЕЩЕСТВЕННОЕ, ИЛИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ,
• РАЦИОНАЛЬНОЕ ЧИСЛО (Q)
ЧИСЛО — МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ОБЪЕКТ,
(ЛАТ. RATIO «ОТНОШЕНИЕ,
ВОЗНИКШИЙ ИЗ ПОТРЕБНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ
ДЕЛЕНИЕ, ДРОБЬ») — ЧИСЛО,
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ И ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
КОТОРОЕ
МОЖНО
ОКРУЖАЮЩЕГО МИРА, А ТАКЖЕ ПРОВЕДЕНИЯ
ПРЕДСТАВИТЬ ОБЫКНОВЕННОЙ
ТАКИХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ОПЕРАЦИЙ, КАК
ДРОБЬЮ
ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ, ВЫЧИСЛЕНИЕ
Комплексные числа — числа ЛОГАРИФМОВ, РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
вида, где — вещественные числа, УРАВНЕНИЙ, ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ
— мнимая единица, т.е число, ФУНКЦИЙ.
для
которого
выполняется
равенство:
Множество
комплексных
чисел
обычно
обозначается символом.

7.

• Система счисления – совокупность
приёмов и правил записи чисел с
помощью определённого набора
символов.
( числа записываются с использование
особых знаковых систем )

8.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ С ПОМОЩЬЮ КАКОГО ЛИБО
ЯЗЫКА НАЗЫВАЮТ КОДИРОВАНИЕМ.
КОД – НАБОР СИМВОЛОВ ДЛЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ИНФОРМАЦИИ.
КОДИРОВАНИЕ – ПРОЦЕСС ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ В
ВИДЕ КОДА.
ДЕКОДИРОВАНИЕ – ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДАННЫХ ИЗ
ДВОИЧНОГО КОДА В ФОРМУ ПОНЯТНУЮ ЧЕЛОВЕКУ
ДВОИЧНЫЙ КОД
ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ, ОБРАБАТЫВАЕМАЯ КОМПЬЮТЕРОМ
ПРЕДСТАВЛЯЕТСЯ С ПОМОЩЬЮ 2 ЦИФР: 0 И 1 (0 И 1 – БИТЫ)

9.

Традиционно для кодирования одного символа используется 1 байт (1 байт = 8 битов)
• Учитывая, что каждый бит принимает значение 1 или 0, получаем, что с помощью 1 байта
можно закодировать 256 различных символов 2^8 = 256

10.

Таблица кодировки – это
таблица, в которой всем
символам пк алфавита
поставлены В соответствии
порядковые номера(коды)
Для разных типов эвм
используют различные
кодировки

11.

СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ — ЭТО СПОСОБ ЗАПИСИ ЧИСЕЛ С ПОМОЩЬЮ ЦИФР.
ВСЕ ИЗВЕСТНЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ ДЕЛЯТСЯ НА позиционные И непозиционные.
НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ ВОЗНИКЛИ РАНЬШЕ ПОЗИЦИОННЫХ. ПОСЛЕДНИЕ
ЯВЛЯЮТСЯ В СВОЮ ОЧЕРЕДЬ РЕЗУЛЬТАТОМ ДЛИТЕЛЬНОГО ИСТОРИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ
НЕПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ.

12.

Различия
ПОЗИЦИОННАЯ
• В ПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ
ЗНАЧЕНИЕ ЦИФРЫ ЗАВИСИТ ОТ
МЕСТОНАХОЖДЕНИЯ В ЗАПИСИ ЧИСЛА.
НАПРИМЕР, В ЧИСЛЕ 12 ЦИФРА 1
ОЗНАЧАЕТ ДЕСЯТЬ, А В ЧИСЛЕ 122 —
СОТНЮ.
НЕПОЗИЦИОННАЯ
• В НЕПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМАХ
СЧИСЛЕНИЯ, ГДЕ БЫ ЦИФРА НЕ
НАХОДИЛАСЬ, ОНА ИМЕЕТ ОДНО И ТО ЖЕ
ЗНАЧЕНИЕ. НАПРИМЕР, В РИМСКОЙ
СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ IV И XI ЦИФРА I
ОЗНАЧАЕТ ЕДИНИЦУ.

13.

• Непозиционная система счисления — ЭТО ТАКАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ, В
КОТОРОЙ ПОЛОЖЕНИЯ ЦИФРЫ В ЗАПИСИ ЧИСЛА НЕ ЗАВИСИТ ВЕЛИЧИНА, КОТОРУЮ ОНА
ОБОЗНАЧАЕТ. СИСТЕМА МОЖЕТ НАКЛАДЫВАТЬ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ НА
ПОРЯДОК ЦИФР (РАСПОЛОЖЕНИЕ ПО ВОЗРАСТАНИЮ ИЛИ УБЫВАНИЮ).
• ПРИМЕРОМ НЕПОЗИЦИОННОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ ЯВЛЯЕТСЯ РИМСКАЯ СИСТЕМА, В
КОТОРОЙ В КАЧЕСТВЕ ЦИФР ИСПОЛЬЗУЮТСЯ ЛАТИНСКИЕ БУКВЫ, ИЛИ
ДРЕВНЕЕГИПЕТСКАЯ ДЕСЯТИЧНАЯ НЕПОЗИЦИОННАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ.

14.

Древнеегипетская десятичная
непозиционная
система
счисления.
В древнеегипетской системе счисления
использовались специальные знаки для
обозначения чисел 1, 10, 102, 103, 104,
105, 106, 107. Числа в египетской системе
счисления записывались как комбинации
этих "цифр", в которых каждая "цифра"
повторялась не более девяти раз.
Римская система счисления
непозиционная система счисления, в которой для записи чисел
используются буквы латинского алфавита
1 - I, 5 - V, 10 - X, 50 - L, 100 - C, 500 - D и 1000 - M.
В настоящее время римская система счисления не
применяется, за некоторыми исключениями:
• Обозначения веков (XV век и т.д.), годов н. э. и месяцев при
указании дат (например, 1. V.1975).
• Обозначение порядковых числительных.
• Обозначение производных небольших порядков, больших
трёх: yIV, yV и т.д.
• Обозначение валентности химических элементов

15.

В ПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ ВЕС КАЖДОЙ ЦИФРЫ ИЗМЕНЯЕТСЯ В
ЗАВИСИМОСТИ ОТ ЕЕ ПОЛОЖЕНИЯ (ПОЗИЦИИ) В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЦИФР,
ИЗОБРАЖАЮЩИХ ЧИСЛО. НАПРИМЕР, В ЧИСЛЕ 757,7 ПЕРВАЯ СЕМЕРКА ОЗНАЧАЕТ 7 СОТЕН,
ВТОРАЯ — 7 ЕДИНИЦ, А ТРЕТЬЯ — 7 ДЕСЯТЫХ ДОЛЕЙ ЕДИНИЦЫ.
САМА ЖЕ ЗАПИСЬ ЧИСЛА 757,7 ОЗНАЧАЕТ СОКРАЩЕННУЮ ЗАПИСЬ ВЫРАЖЕНИЯ:
700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 . 102 + 5 . 101 + 7 . 100 + 7 . 10—1 = 757,7

16.

Запись чисел
Число записывают в виде последовательности его b-ичных цифр, перечисляемых
по убыванию старшинства разрядов слева направо.
В ненулевых числах x начальные нули обычно опускаются.
Для записи чисел в системах счисления с основанием до 36 включительно в
качестве цифр (знаков) используются арабские цифры (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и,
затем, буквы латинского алфавита (a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v,
w, x, y, z). При этом, a = 10, b = 11 и т.д., иногда x = 10.

17.

Запись чисел
При одновременной работе с несколькими системами счисления для их
различения основание системы обычно указывается в виде нижнего индекса,
который записывается в десятичной системе:
12310 — это число 123 в десятичной системе счисления;
1738 — то же число в восьмеричной системе счисления;
11110112 — то же число, но в двоичной системе счисления.
Любая
позиционная
своим основанием.
система
счисления
характеризуется

18.

19.

• Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?
Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью Правила счета:
Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую
правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру,
стоящую слева от неё.
Применяя это правило, запишем первые десять целых чисел
• в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;
• в троичной системе: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;
• в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;
• в восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

20.

Кроме десятичной широко используются системы с основанием,
являющимся целой степенью числа 2, а именно:

21.

ДВОИЧНАЯ ПОЗИЦИОННАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ
имеет основание 2 и использует для записи числа 2
символа (цифры): 0 и 1. В каждом разряде допустима
только одна цифра — либо 0, либо 1.
Примером может служить число 101. Оно аналогично
числу 5 в десятичной системе счисления. Для того,
чтобы перевести из 2-й в 10-ю необходимо умножить
каждую цифру двоичного числа на основание “2”,
возведенное в степень, равную разряду. Таким
образом, число 1012 = 1*22 + 0*21 + 1*20 = 4+0+1 =
510

22.

Восьмеричная система счисления
— позиционная целочисленная
система счисления с основанием 8.
Для представления чисел в ней
используются цифры от 0 до 7.
Восьмеричная
система
часто
используется в областях, связанных
с цифровыми устройствами.

23.

Шестнадцатеричная
система
счисления — позиционная система
счисления
по
целочисленному
основанию 16. В качестве цифр этой
системы
счисления
обычно
используются цифры от 0 до 9 и
латинские буквы от A до F. Буквы A,
B, C, D, E...

24.

Из всех систем счисления особенно
проста и поэтому интересна для
технической реализации в
компьютерах двоичная система
счисления.

25.

Для перевода целого десятичного числа N в систему счисления с
основанием q необходимо N разделить с остатком ("нацело") на q,
записанное в той же десятичной системе. Затем неполное частное,
полученное от такого деления, нужно снова разделить с остатком на q , и
т.д., пока последнее полученное неполное частное не станет равным нулю.
Представлением числа N в новой системе счисления будет
последовательность остатков деления, изображенных одной q-ичной
цифрой и записанных в порядке, обратном порядку их получения.

26.

• Пример: переведём число 75 из
десятичной системы в двоичную,
восьмеричную и
шестнадцатеричную:
Ответ: 7510 = 1 001 0112 = 1138 = 4B16.
в шестнадцетеричную
в восьмеричную
в двоичную

27.

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную
систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить
эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или
тетрадой (четверкой цифр).

28.

• Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или
шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на
триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и
каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной
(шестнадцатеричной) цифрой.

29.

Перевод в десятичную систему числа x, записанного в q-ичной системе счисления (q = 2,
8 или 16) в виде xq = (anan-1 ... a0, a-1 a-2... a-m)q сводится к вычислению значения
многочлена
• x10 = an qn + an-1 qn-1 + ... + a0 q0 + a-1 q -1 + a-2 q-2 + ... + a-m q-m средствами
десятичной арифметики.

30.

31.

Рассмотрим только те системы счисления, которые применяются в компьютерах —
десятичную, двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную. Для определенности
возьмем произвольное десятичное число, например 46, и для него выполним все
возможные последовательные переводы из одной системы счисления в другую. Порядок
переводов определим в соответствии с рисунком:
На этом рисунке использованы следующие обозначения:
в кружках записаны основания систем счисления;
стрелки указывают направление перевода;
номер рядом со стрелкой означает порядковый номер соответствующего примера
в сводной таблице 4.1.
означает перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную, имеющий в таблице
порядковый номер 6.