Лекция_05

1.

§ 2. Прямая и плоскость в пространстве
Уравнение плоскости, проходящей через точку Y
N
M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) и перпендикулярной к нормальному
M0
вектору N = ( A, B, C ), имеет вид (рис. 2.8):
A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C (z − z0 ) = 0 .
O
X
Общее уравнение плоскости в пространстве:
Рисунок 2.8
Ax + By + Cz + D = 0 .
Уравнение плоскости в отрезках имеет вид:
x y z
+ + = 1,
a b c
где a, b, c – величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях OX, OY,
OZ соответственно.
Угол между двумя плоскостями определяют из формулы
N1 N 2
A1 A2 + B1B2 + C1C2
cos =
=
,
2
2
2
2
2
2
N1 N 2
A1 + B1 + C1 A2 + B2 + C2
где N1 = ( A1 , B1 , C1 ) и N 2 = ( A2 , B2 , C2 ) – нормальные векторы к
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
плоскостям
и
соответственно.

2.

Условие параллельности двух плоскостей A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 и
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 имеет вид:
A1 B1 C1
=
=
.
A2 B2 C2
Условие
перпендикулярности
двух
плоскостей
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 имеет вид:
A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0 .
Уравнение прямой линии, проходящей через точку M (a, b, c ) и
параллельной вектору q (m, n, p ) , имеет вид:
x−a y −b z −c
=
=
.
m
n
p
Эти уравнения называют каноническими уравнениями прямой линии в
пространстве, вектор q называют направляющим вектором прямой.
Угол между двумя прямыми линиями в пространстве определяют
из формулы ( q1 = q1 = m12 + n12 + p12 , q2 = q 2 = q 2 = m22 + n22 + p 22 )
q1q 2
m1m2 + n1n2 + p1 p2
,
cos =
=
2
2
2
2
2
2
q1q2
m1 + n1 + p1 m2 + n2 + p 2

3.

Параметрические уравнения прямой линии в пространстве имеют
вид:
x = mt + a , y = nt + b , z = pt + c ,
где t – параметр.
Уравнение прямой линии в пространстве, проходящей через две
точки A( x1 , y1 , z1 ) и B ( x2 , y2 , z2 ) имеет вид:
x − x1
y − y1
z − z1
=
=
.
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
Общее уравнение прямой в пространстве имеет вид:
A1x + B1 y + C1z + D1 = 0,
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.
x−a y −b z −c
Угол между прямой линией
=
=
и плоскостью
m
n
p
Ax + By + Cz + D = 0 определяется по формуле
Nq
Am + Bn + Cp
sin =
=
,
2
2
2
2
2
2
Nq
A + B +C m +n + p
N = ( A, B, C ) – перпендикуляр
направляющий вектор прямой.
к
плоскости,
q = (m , n , p )
–

4.

Условие параллельности прямой и плоскости имеет вид:
Am + Bn + Cp = 0 .
Условие перпендикулярности прямой и плоскости имеет вид:
A B C
= = .
m n p
x−2 y −3
z
Пример. При каком k прямая
=
=
и плоскость
2
−5
−4
2 x − ky + z + 4 = 0 параллельны?
Условие параллельности прямой и плоскости имеет вид:
Am + Bn + Cp = 0 .
В данном случае имеем:
m = 2, n = −5, p = −4, A = 2, B = − k , C = 1 .
Подставляя эти значения в условие параллельности, получим
2 2 + (− k ) (− 5) + 1 (− 4 ) = 0 или k = 0 .

5.

§ 3. Кривые линии второго порядка
Алгебраической кривой второго порядка называют кривую линию,
уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид
Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 ,
где не все коэффициенты A, B, C равны нулю. В этом случае уравнение
кривой имеет один из следующих видов (канонические уравнения
кривой).
1) Окружность (с центром в начале координат)
Y
x2 + y2 = R2
R M(x,y)
– это геометрическое место точек, находящихся на
данном расстоянии R от данной точки, называемой
O
X
центром окружности (рис. 2.9).
Радиусом окружности R называют расстояние
Рисунок 2.9
от точек окружности до ее центра.

6.

2) Эллипс
x2 y2
+ 2 =1
2
a
b
– геометрическое место точек, сумма D1
расстояний от которых до двух данных
точек F1 и F2, называемых фокусами
эллипса, есть постоянная величина 2a -a
(рис. 2.10)
r1 + r2 = 2a ,
расстояние
называют
F1 F2 = 2c
Y
D2
b
F1
c
M(x,y)
r2
F2 a X
r1
c
-b
Рисунок 2.10
фокусным расстоянием, b 2 = a 2 − с 2 ,
= c a называют эксцентриситетом эллипса, a и b называют полуосями
эллипса, оси симметрии OX и OY называют главными осями, центр
симметрии O называют центром эллипса, точки (− a ,0) , (a ,0 ) , (0,−b ) ,
(0, b ) называют вершинами эллипса, векторы F1M и F2M называют
фокальными радиус-векторами, прямые D1: x = − a и D2: x = a
называют директрисами эллипса.

7.

Если r – расстояние от точки M(x,y) эллипса до какого-либо фокуса,
d – расстояние до соответствующей директрисы, то r d = .
Расстояния от точки M(x,y) эллипса до фокусов эллипса равны
r1 = a + x , r2 = a − x .
Если a b , то фокусы находятся на оси OY, c = b 2 − a 2 , = c b ,
r1 = b + y , r2 = b − y .
3) Гипербола
D1 Y
D2
2
2
x
y
M(x,y)
−
=
1
r1 b
r2
a 2 b2
a
F2 X
– геометрическое место точек, разность F1 -a
O
с
расстояний от которых до двух данных -с
-b
точек F1 и F2, называемых фокусами
гиперболы, есть постоянная величина 2a
Рисунок 2.11
(0 2a F1 F2 ) (рис. 2.11)
r1 − r2 = 2a .
F1 F2 = 2c
– фокусное расстояние,
b2 = с2 − a 2 ,
=c a
–
эксцентриситет гиперболы, a и b – соответственно вещественная и
мнимая полуоси гиперболы.

8.

Оси симметрии OX и OY называют действительная и мнимая оси, центр
симметрии O – центр гиперболы, точки (− a,0) , (a,0) – вершины
гиперболы, F1M и F2M – фокальные радиус-векторами, y = b a –
асимптоты гиперболы, прямые D1: x = − a и D2: x = a – директрисы
гиперболы.
Если r – расстояние от точки M(x,y) гиперболы до какого-либо
фокуса, d – расстояние до соответствующей директрисы, то r d = .
Расстояния от точки M(x,y) гиперболы до фокусов гиперболы
r1 = x + a , r2 = x − a .
4) Парабола
D Y
y 2 = 2 px
M(x,y)
–
геометрическое
место
точек,
равноудаленных от данной точки F,
O F
X
называемой фокусом параболы, и данной
прямой D, называемой директрисой (рис.
2.12).
Рисунок 2.12
Парабола
симметрична
y 2 = 2 px
p
p
относительно оси OX, имеет фокус F ;0 , директрису x = − .
2
2

9.

Если x 2 = 2 py , то парабола симметрична относительно оси OY,
p
p
имеет фокус F 0; , директрису y = − .
2
2
Пример. Найти расстояние между центрами окружностей
x 2 + y 2 = 4 и x 2 + y 2 − 2x − 6 y + 9 = 0 .
Приведем уравнения окружностей к виду
(x − x1 )2 + ( y − y1 )2 = R12 и (x − x2 )2 + ( y − y2 )2 = R22 .
Тогда расстояние между центрами окружностей будет равно
d=
(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 .
В случае окружности x 2 + y 2 = 4 имеем x1 = 0 , y1 = 0 . В случае
окружности x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 9 = 0 после выделения полных квадратов
получим:
2
2
x 2 − 2 x + 1 + y 2 − 6 y + 9 − 1 = 0 или ( x − 1) + ( y − 3) = 1 .
Следовательно x 2 = 1 , y 2 = 3 . Тогда расстояние между центрами
окружностей будет равно
(
) (
)
d=
(1 − 0)2 + (3 − 0)2 = 10 .