Строительная механика. Расчёт трёхшарнирных систем. Лекция 1

1. РАСЧЁТ ТРЁХШАРНИРНЫХ СИСТЕМ

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА.
Часть I
РАСЧЁТ
ТРЁХШАРНИРНЫХ
СИСТЕМ
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ

2.

Трёхшарнирной
называется геометрически неизменяемая система,
состоящая из трёх дисков, попарно соединённых
тремя шарнирами *)
*) как правило, цилиндрическими
Два типа трёхшарнирных систем (ТШС)
Распорные ТШС
( один из трёх дисков – «земля» )
ТШС с затяжкой
C
VA
A
A
A
C
VB
D2
D1
D1
B
D
H
H
D3 = «з е м л я»
A, B
шарниры система
Трёхшарнирная
С – опорные
с дисками-фермами
С – ключевой
шарнир H – распор
С
С
В
В
D
A
В
Трёхшарнирная арка Трёхшарнирная рама
A
D2
D3
Затяжка
B
K
( диск без связей с «землёй» )
С
С
A
В
K
A
D
Трёхшарнирные
арка
рама
с затяжками
В

3.

Трёхшарнирной аркой
Вершина арки
C
f
ymax
называется трёхшарнирная система,
два основных диска которой являются A
B
криволинейными стержнями,
l
обращёнными, как правило,
l – длина пролёта
выпуклостью навстречу
ymax – стрела подъёма
действующей нагрузке.
f – расстояние от ключевого шарнира
до линии опорных шарниров
В случае ключевого шарнира в вершине арки f = ymax
Трёхшарнирные арки
По очертанию оси
Круговая
Параболическая
По расположению опор
По относительной
высоте
– пологие
С опорами на одном уровне
Dh
Эллиптическая
Стрельчатая
С опорами на разных уровнях
Трёхшарнирной рамой
( f / l < 1/8…1/10)
– подъёмистые
( f / l > 1/4…1/3)
называется трёхшарнирная система, два основных диска
которой являются ломаными или прямолинейными стержнями.

4.

Кинематический анализ
трёхшарнирных систем
2. Т Ш С с з а т я ж к о й
1. Р а с п о р н ы е Т Ш С
C
C
D2
D1
D1
A
B
D
D2
D3
A
K
B
а) к о л и ч е с т в е н н ы й а н а л и з:
П = 0; С = 0
D = 2; H = 1; C0 = 4
W = 3D – ( 2H + C0 )
W=0
D = 3; H = 3; C0 = 3
W=0
б) с т р у к т у р н ы й а н а л и з:
общее требование: шарниры А, В, С не должны лежать на одной прямой
A
В
A
С
С
В
D
С
A
В

5.

Кинематический анализ
трёхшарнирных систем
2. Т Ш С с з а т я ж к о й
1. Р а с п о р н ы е Т Ш С
C
C
D2
D1
D1
A
B
D
D2
D3
A
B
K
а) к о л и ч е с т в е н н ы й а н а л и з:
П = 0; С = 0
D = 2; H = 1; C0 = 4
W=0
W = 3D – ( 2H + C0 )
D = 3; H = 3; C0 = 3
W=0
б) с т р у к т у р н ы й а н а л и з:
при наличии поступательных шарниров
С
g
С
g
A
A
В
С
В
g=0!
D
A
В K

6.

Определение реакций связей
в трёхшарнирных системах
C
1. Р а с п о р н ы е Т Ш С
Вариант 1
( общая система уравнений равновесия )
y
D2
D1
B
VC
VA
A
D1
Вариант 2
( рациональный способ определения реакций )
y
VA
V
A
A
C
HA A
VBB
D2
D1
HHBB
a0
A
B
l
Частный случай – вертикальная нагрузка
HA
HC
C
VC
VB
D2
HB
B
0
Искомые реакции связей:
VA , HA , VB , HB , VC , HC
x
Уравнения равновесия дисков:
m(AD2) 0
m(AD1) 0
(D2)
(D1)
x
0
x 0
y(D2) 0
y(D1) 0
( VA , HA , VC , HC ) ( VВ , HВ , VC , HC )
Шаг 1: уравнения равновесия системы в целом:
mA 0
VB mA, F /l
VA mB, F /l
mB 0
( H A HB ) cos α0 xF 0
x 0
HC
C
H A HB
x

7.

Определение реакций связей
в трёхшарнирных системах
1. Р а с п о р н ы е Т Ш С
Шаг 2: уравнения равновесия одного из дисков:
Вариант 1
m
VC
VA
A
C
D1
H A
(D1)
С
0
( общая система уравнений равновесия )
y
HC
H
H A A
(D1 )
(D1)
V
a
m
H
x
0
A
C,
F
C
(D1)
y 0 f V C
f
a
VC
VA
y
VA
A
C
HB
a0
A
VB
D2
D1
H A
D1
Вариант 2
( рациональный способ определения реакций )
B
l
Частный случай – вертикальная нагрузка
HA
HC
C
VC
VB
D2
HB
B
0
Искомые реакции связей:
VA , HA , VB , HB , VC , HC
x
Уравнения равновесия дисков:
m(AD2) 0
m(AD1) 0
(D2)
(D1)
x
0
x 0
y(D2) 0
y(D1) 0
( VA , HA , VC , HC ) ( VВ , HВ , VC , HC )
Шаг 1: уравнения равновесия системы в целом:
mA 0
VB mA, F /l
HB
VA mB, F /l
mB 0
( H A HB ) cos α0 xF 0
x 0
HC
C
H A HB
x

8.

Определение реакций связей
в трёхшарнирных системах
1. Р а с п о р н ы е Т Ш С
Шаг 2: уравнения равновесия одного из дисков:
VC
VA
A
C
D1
H A
m
(D1)
С
0
HC
H A
x((DD )) 0 HC
y 0 VC
Вариант 2
f
a
VA VA
1
1
( рациональный способ определения реакций )
y
VA
Переход к ортогональным составляющим
опорных реакций:
y
C
VB
D2
D1
A
H A
HB
HB
a0
VB
VB
B
x
HA
HA H A cos α0
HB HB cos α0
VA VA H A sin α0 VB VB HB sin α0
Алгоритм определения реакций по варианту 2:
HB
1. Реакции опор раскладываются на составляющие –
вертикальные и по направлению линии АВ.
x
2. Записываются уравнения равновесия системы
a0
H A
A
l
в целом ( моментов относительно точек А и В
и проекций на ось х ), из которых находятся
Шаг 1: уравнения равновесия системы в целом:
вертикальные реакции опор А и В.
3. Система разделяется сечением по ключевому
mA 0
VB mA, F /l
шарниру на два диска ( обязательная операция ! ).
HB
Для любого из дисков записывается уравнение
VA mB, F /l
mB 0
равновесия моментов относительно точки С,
из которого находится реакция H A ( или HB ).
x
0
(
H
H
)
cos
α
x
0
A
B
0
F
уравнения S x = 0 для всей системы
H A HB 4. Из
Частный случай – вертикальная нагрузка
определяется реакция HB ( H A ).
B

9.

Определение реакций связей
в трёхшарнирных системах
1. Р а с п о р н ы е Т Ш С
Шаг 2: уравнения равновесия одного из дисков: Особые случаи распорных ТШС,
для которых целесообразно изменение
VC
mС(D1) 0
порядка расчёта в сравнении
C
с общим алгоритмом
HC
VA
D1
H A
Общий признак:
f
a
ключевой шарнир С располагается
x(D1) 0 HC
на одной вертикали ( или горизонтали )
A
с одним из опорных шарниров.
y(D1) 0 VC
H A
С HA А
С
Вариант 2
( рациональный способ определения реакций )
y
VA
A
C
HA А
D2
D1
H A
В
VB
B
l
x
Шаг 1: уравнения равновесия системы в целом:
mA 0
VB mA, F /l
HB
VA mB, F /l
mB 0
( H A HB ) cos α0 xF 0
x 0
VА
В
VB
HB
V
B
Рациональный приём:
В первую очередь рассматривается
равновесие диска, которому принадлежат шарниры,
расположенные на одной вертикали ( горизонтали )
и находится реакция НА ( НВ ); затем используются
уравнения равновесия системы в целом.
VА
HB
a0
HB
(CB)
m
C
0
m 0
x 0
y 0
A
HB
VB
HA
VA
m
( AC )
C
0
m 0
x 0
y 0
B
VA
HA
HB
VB

10.

Определение реакций связей
в трёхшарнирных системах
y
2. Т Ш С с з а т я ж к о й
Вариант 1
C
RK
D2
D1
VD
D3
A
D
K
B
Вариант 2
x
HD
Формирование и решение системы уравнений
равновесия дисков D1 , D2 и D3 ( по 3 уравнения
для каждого диска – всего 9 уравнений ) с девятью
неизвестными реакциями внешних и внутренних
связей – VA , HA , VB , HB , VC , HC , VD , HD , RK
( рациональный способ определения реакций связей )
mD 0
Уравнения
x 0
равновесия
системы в целом: y 0
Шаг 1
Шаг 2
RK mD,F /hR
HD
VD
C
HC
Уравнения равновесия затяжки ( D3 ):
VA
H A A
m(AAB) 0
( AB)
mB 0
x3( AB) 0
l3
a0
f V
C
VB
HB
B
x3
Шаг 3
Уравнения равновесия
одного из дисков ( D1 или D2 ):
(D2)
m
С
(D ) 0
x 2 0
RK
D2
HB
B
VB
K
(D2)
y
0
HB
HC
VC
Частные случаи:
VB m(A,ABF) /l3
1. Вертикальные нагрузки на затяжке
( AB)
2. Незагруженная затяжка VA VB 0 H A HB
VA mB,F /l3
3. Прямолинейная незагруженная затяжка:
( AB)
( HB H A ) cos α0 x3,F 0
N3 const H A HB ; M3 0; Q3 0

11.

Определение реакций связей
в трёхшарнирных системах
2. Т Ш С с з а т я ж к о й
y
VD
C
RK
D2
D1
A
D
HD
B
Трёхшарнирная система
с прямолинейной незагруженной затяжкой
K
Рациональный способ
определения реакций связей
x
mD 0
Уравнения
x 0
равновесия
системы в целом: y 0
Шаг 1
Шаг 2
RK mD,F /hR
HD
VD
C
HC
Уравнения равновесия затяжки ( D3 ):
VA
H A A
m(AAB) 0
( AB)
mB 0
x3( AB) 0
a0
Шаг 3
VB
B
HB
(D2)
m
С
(D ) 0
x 2 0
RK
D2
f V
C
x3
VB 0
VA 0
( HB H A ) cos α0 0
Уравнения равновесия
одного из дисков ( D1 или D2 ):
(D2)
y
0
B
HB
K
HB
HC
Продольная сила в прямолинейной
незагруженной затяжке:
N3
m
H
RK bR
f
(D2 )
C, F
B
H A HB N3 const ; M3 0; Q3 0
VC

12.

Определение реакций связей
в трёхшарнирных системах
I
y
VD
D
2. Т Ш С с з а т я ж к о й
C
RK
D2
D1
B
A
I
x
HD
mD 0
Уравнения
x 0
равновесия
системы в целом: y 0
Шаг 1
Шаг 2
Трёхшарнирная система
с прямолинейной незагруженной затяжкой
K
Рациональный способ
определения реакций связей
RK mD,F /hR
HD
VD
C
HC
Разделение системы сечением I – I
по ключевому шарниру и затяжке
( стандартный приём )
f V
C
Шаг 3
Уравнения равновесия
одного из дисков ( D1 или D2 ):
(D2)
m
С
(D ) 0
x 2 0
RK
D2
(D2)
y
0
B
N3
K
N3
HC
Продольная сила в прямолинейной
незагруженной затяжке:
N3
m
RK bR
f
(D2 )
C, F
VC

13.

Составные системы
с трёхшарнирными частями
ВЧ 2
ТШС 4
ВЧ 1
ТШС 2
ГЧ
ТШС 1
ТШС 3

14.

Контрольные вопросы
( в скобках даны номера слайдов, на которых можно найти ответы на вопросы;
для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках*);
для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши
и выбрать «Перейти к слайду 14» )
1. Что такое трёхшарнирная система? ( 2 )
2. Основные типы трёхшарнирных систем. ( 2 )
3. Что такое распор? ( 2 )
4. Что такое затяжка? ( 2 )
5. Разновидности распорных трёхшарнирных систем. ( 2 )
6. Разновидности трёхшарнирных систем с затяжкой. ( 2 )
7. Что такое трёхшарнирная арка? Как классифицируются трёхшарнирные арки? ( 3 )
8. Что такое трёхшарнирная рама? ( 3 )
9. Кинематический анализ трёхшарнирных систем разных типов. ( 4 )
10. Требования к расположению связей в трёхшарнирных системах. ( 4, 5 )
11. Можно ли в вершине арки с опорными цилиндрическими шарнирами на одном уровне
поставить вертикальный поступательный шарнир? ( 5 )
12. Можно ли в трёхшарнирной системе выделить главную и второстепенную части?
13. Порядок определения реакций связей в трёхшарнирной распорной системе. ( 6 – 8 )
14. От чего зависит распор трёхшарнирной системы? ( 7 )
15. Рациональный порядок определения реакций связей в трёхшарнирной системе
при расположении ключевого и одного из опорных шарниров на одной вертикали
(или горизонтали). ( 9 )
16. Порядок определения реакций связей в трёхшарнирной системе с затяжкой. ( 10 )
17. Каков характер работы незагруженной прямолинейной затяжки? ( 10, 11 )
18. Как определяется продольная сила в прямолинейной незагруженной затяжке? ( 11 )
19. Стандартный приём определения продольной силы в прямолинейной затяжке
трёхшарнирной системы. ( 12 )
20. Порядок расчёта составных систем с трёхшарнирными частями. ( 13 )
____________________________________________________________
*)
Только в режиме «Показ слайдов»