m3_lecter_7

1.

Математика 3
Раздел 2
Ряды
Числовые знакопеременные ряды
Лектор:
доцент отделения математики
и математической физики
Имас Ольга Николаевна

2.

Теорема ( признак Даламбера)
Это уже написали
u n +1
= l , то
n → u
n
Дан ряд u n ( un ≥ 0 ). Если ∃ предел lim
n =1
а) при l < 1 ряд сходится
б) при l > 1 ряд расходится
в) при l = 1 вопрос о сходимости не решается (использовать признак
сравнения)
пропустить страницу
Теорема ( радикальный признак Коши)
Дан ряд
u
n =1
n
( un ≥ 0 ). Если ∃ предел
lim n un = l , то
n →
а) при l < 1 ряд сходится
б) при l > 1 ряд расходится
в) при l = 1 вопрос о сходимости не решается (использовать признак
сравнения)
пропустить 10 клеточек

3.

Теорема ( интегральный признак Коши)
Это уже написали
Дан ряд
u ( un ≥ 0 ), пусть дана функция f(x) такая, что
n =1
n
f (1)=u1, f (2)=u2,…, f (n)=un и пусть f(x) монотонно убывает на (1, +∞).
Тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл
и расходится, если этот интеграл расходится
пропустить 1.5 страницы
1
f ( x ) dx

4.

Знакопеременные ряды
ОПР.
Ряд
Это новенькое
a с членами произвольных знаков, называют знакопеременным
n
n =1
ОПР. Знакочередующимся называют ряд, у которого два соседних члена имеют
разные знаки
u1 − u2 + u3 − + (−1) n +1 un + =
n =1
ОПР. Знакопеременный ряд
если сходится ряд
a
(−1) n+1 un =
a
n
(*)
n =1
n называется абсолютно сходящимся,
n =1
an , составленный
из модулей его членов
n =1
Теорема. (признак абсолютной сходимости)
Если ряд
a сходится, то знакопеременный ряд a тоже сходится
n
n =1
пропустить 1 страницу
n
n =1

5.

a называется условно сходящимся,
ОПР. Знакопеременный ряд
n
если он сходится, а ряд
n =1
a расходится
n
n =1
ВЫВОД.
Абсолютная сходимость – это сходимость за счет уменьшения абсолютных
значений членов ряда.
Условная сходимость – это сходимость за счет частичной компенсации
положительных и отрицательных членов ряда.
СВОЙСТВА АБСОЛЮТНО И УСЛОВНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
1). Если ряд сходится абсолютно, то сходятся ряды,
составленные из его положительных членов и отрицательных
членов.
2). Если ряд сходятся условно, то ряды, составленные из
положительных и отрицательных членов в отдельности
расходятся.
.

6.

3). Если ряды ∑un и ∑vn сходятся абсолютно, то ряд
∑(αun βvn) тоже сходится абсолютно ( α,β ℝ).
4). Если ряд ∑un – сходятся абсолютно,
∑vn – сходятся условно,
то ряд ∑(αun βvn) сходится условно ( α,β ℝ, 0 ) .
5) (о перестановке членов ряда).
а) Если ряд ∑un сходится абсолютно, то ряд, полученный из
него в результате перестановки членов, также сходится
абсолютно и имеет ту же сумму.
б) Если ряд
∑un
сходится условно, то можно так
переставить члены ряда, что сумма получившегося ряда
будет равна любому, заранее заданному числу.
Более того, можно так переставить члены ряда, что
получившийся ряд будет расходиться (теорема Римана).

7.

Признак Лейбница
Теорема (достаточный признак условной сходимости знакочередующегося ряда)
Если члены знакочередующегося ряда
n =1
(−1) n +1 u n
а) монотонно убывают по абсолютной величине un > un+1
б) и стремятся к нулю при n → ∞ ( lim un = 0)
n →
то ряд сходится