Случайные события: вероятности и частоты

1.

Случайные события.
Вероятности и частоты
Урок 3.
Изучаем закономерности случайного мира и учимся измерять шанс наступления событий: от
броска монеты до статистических прогнозов
вероятность

2.

План изучения темы:
Вероятности и
частоты
Понятие случайного события и его виды: достоверные и невозможные
Классическое определение вероятности и формула P(A) = m/n
Относительная частота события и её отличие от вероятности
Закон больших чисел и статистическая устойчивость частот
Практикум: решение задач на расчет вероятности и частоты

3.

Виды событий и их вероятность
Случайный опыт — действие с непредсказуемым заранее результатом
Событие — это любой возможный исход проводимого эксперимента
Достоверное событие (P=1): произойдет обязательно (выпадет от 1 до 6)
Невозможное событие (P=0): никогда не случится (выпадет число 7)
Случайное событие (0<P<1): может произойти или нет (выпадет пятерка)

4.

Классическое определение вероятности
Классическое определение вероятности применяется, когда все исходы опыта
равновозможны. Вероятность события A вычисляется по формуле P(A) = m/n.
Здесь n — общее количество всех элементарных исходов, а m — число исходов,
при которых наступает событие A (благоприятные исходы).
Пример: При броске кубика n = 6 (грани 1, 2, 3, 4, 5, 6). Вероятность выпадения
четного числа (2, 4, 6) означает, что m = 3. Тогда P(A) = 3/6 = 0,5.
Важно помнить: вероятность любого события всегда находится в границах от 0
до 1. Вероятность 0 означает невозможное событие, а 1 — достоверное.

5.

Относительная
частота события:
формула и
смысл
Относительная частота события W(A) —
это число, которое показывает, какая
доля испытаний завершилась
наступлением данного события.
Формула: W(A) = k / N
где:
k — число испытаний, в которых
событие A произошло (благоприятные
исходы);
N — общее количество проведенных
испытаний.
Частота всегда выражается числом от 0
до 1 или в процентах (от 0% до 100%).
Она показывает фактический успех
события в конкретном опыте.
Главное отличие частоты от
вероятности:
1. Вероятность P(A) — это
теоретическое ожидание, идеальное
число, рассчитанное до опыта.
2. Частота W(A) — это реальный
результат эксперимента.
Частота обладает изменчивостью: если
два человека подбросят монету по 10
раз, у одного орел может выпасть 4
раза (W=0,4), а у другого 6 раз (W=0,6).
Значение частоты зависит от случая и
меняется от одной серии испытаний к
другой, но обычно колеблется около
значения вероятности.

6.

Вероятность против частоты: теория и практика
Критерий
сравнения
Вероятность (P)
Частота (W)
Способ получения
Расчет до опыта по
формуле
Подсчет после
проведения опыта
Зависимость от
случая
Не зависит, число
постоянно
Зависит от
конкретной серии
испытаний
Стабильность
значения
Идеальное, точное
значение
Колеблется вокруг
вероятности
Вероятность показывает, чего мы ожидаем, а
частота — что произошло на самом деле. При
подбрасывании монеты теоретическая
вероятность выпадения орла всегда равна 0.5.
Однако в серии из 100 бросков мы можем
получить орла 48 раз (частота 0.48) или 52 раза
(частота 0.52). С увеличением числа опытов
частота стремится к вероятности, что
подтверждает закон больших чисел.

7.

История проверки вероятности: опыты с монетой
Опыт Жоржа Бюффона
Второй опыт Карла Пирсона
Жорж Бюффон подбросил монету
4040 раз. Выпало 2048 орлов.
Относительная частота
составила 0,5069.
Пирсон совершил 24 000 бросков.
Получено 12 012 орлов. Частота
0,5005 почти совпала с
вероятностью 0,5.
Конец XIX века
Первый опыт Карла
Пирсона
XVIII век
Карл Пирсон провел 12 000
бросков. Выпало 6019 орлов.
Частота 0,5016 еще ближе к
теоретической вероятности.
Закон больших чисел
Статистическая
устойчивость
Начало XX века
При росте числа опытов частота
события стабилизируется и
стремится к его вероятности. Это
устойчивость частот.

8.

Практикум: расчет вероятности и частоты событий
Задача 1. В коробке 5 синих, 3 красных и 2 зеленых
шара. Всего n = 5 + 3 + 2 = 10 исходов. Число
благоприятных исходов для красного шара m = 3.
Вероятность P(A) = m/n = 3/10 = 0,3. Это
теоретический шанс достать красный шар.
Задача 2. В лотерее из 1000 билетов 20 выигрышных.
Теоретическая вероятность выигрыша P = 20/1000 =
0,02. Это значение заложено организаторами и
показывает ожидаемую долю побед при очень
большом количестве попыток.
Относительная частота. Если куплено 50 билетов и 1
оказался выигрышным, частота W = 1/50 = 0,02.
Частота показывает реальный результат конкретной
серии испытаний. В данном примере частота совпала
с теоретической вероятностью.
Вывод. Вероятность — это прогноз, а частота —
результат опыта. При малом числе испытаний частота
может сильно отличаться от вероятности, но при
увеличении числа попыток она стремится к значению
вероятности (закон больших чисел).

9.

Подведем итоги: главное о вероятности и частоте
Вероятность — это числовая мера возможности наступления события.
Классическая формула P(A) = m/n применяется, когда все исходы равновозможны (m —
благоприятные исходы, n — общее число исходов).
Относительная частота W = k/N вычисляется по результатам серии из N опытов, где событие
наступило k раз.
Закон больших чисел: при увеличении количества испытаний частота события
стабилизируется и приближается к его теоретической вероятности.
Важное свойство: значение вероятности любого события всегда находится в границах от 0
(невозможное) до 1 (достоверное).

10.

Помните, что вероятность P(A) всегда находится в
диапазоне от 0 до 1. Закон больших чисел гласит: при
увеличении числа испытаний относительная частота
события приближается к его теоретической вероятности.
Это знание помогает отличать случайные совпадения от
закономерностей в науке и жизни. Используйте знания о
вероятности, чтобы принимать взвешенные решения в
условиях неопределенности! Желаем успехов в изучении
статистики и умения точно оценивать шансы на успех в
любых начинаниях.