ЛК 1. ТЙМС 2026 (3)

1. МОДУЛЬ 1. ВИПАДКОВІ ПОДІЇ

Теорія ймовірностей та математична статистика
МОДУЛЬ 1. ВИПАДКОВІ
ПОДІЇ
ЛЕКЦІЯ 1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ
Трунова Олена Василівна
доцент, к. пед. н.

2.

Звітність в семестрі до 60 балів:
ЛР - 5 балів (5*4=20)
РГР - 5 балів (5*2=10)
ТЕСТИ - 5 балів (5*4=20)
МКР - 5 балів (5*2=10)
Допуск до іспиту не менше 19 балів
Залік 40 балів

3. ПЛАН

1.
2.
3.
4.
5.
Класифікації подій. Простір елементарних подій.
Операції над подіями
Класичне визначення ймовірності випадкової події
Статистична ймовірність.
Геометрична ймовірність

4. Теорія ймовірностей – математична наука, що вивчає закономірності випадкових явищ. Випадкове явище – таке явище, яке при

неодноразовому
повторенні одного й того ж досліду (випробування) в одних й тих
же умовах проходить (відбувається) кожен раз не повністю
однаково.
Математична статистика – математична наука, що
вивчає методи збору, систематизації і обробки результатів
спостережень з метою виявлення статистичних закономірностей

5.

Експериментом
(дослідом,
випробуванням)
називається відтворення якого-небудь певного
комплексу основних умов, що може бути
повторений скільки завгодно разів.
Подія – результат експерименту.
Випадкова подія будь-який результат випадкового
експерименту, що може відбутися або не відбутися.
Події позначаються А, В, С,…

6. 1. КЛАСИФІКАЦІЯ ПОДІЙ

Вірогідні
події
Неможливі
Випадкові
А, В, С, … або
А1, А2, А3,…, Аk;
В1, В2, …, Вn.
Вірогідна (достовірна) подія – подія яка під час даного випробовування
обов’язково відбудеться.
Неможлива подія - подія яка у даному випробовуванні відбуватися не
може.
Випадкова подія – подія яка під час деякого випробовування може
відбутися, а може і не відбутися.

7. 1. КЛАСИФІКАЦІЯ ПОДІЙ

несумісні
сумісні
залежні
незалежні
рівноможливі
• Дві події називаються несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу
іншої в тому ж самому випробуванні.
• Події називаються сумісними, якщо вони можуть відбутися одночасно в тому
ж самому випробуванні.
• Залежні події - подія А називається залежною від події В, якщо ймовірність
події А змінюється в залежності від того, відбулась подія В чи не відбулась.
• Незалежні події – подія А називається незалежною (independent) від події В,
якщо ймовірність появи події А не залежить від того, відбулась подія В чи не
відбулась.

8. 1. КЛАСИФІКАЦІЯ ПОДІЙ

Події
Прості
(елементарні)
і
(і = 1, 2, 3,…)
Складені
A, B, C, D, …
і A, j B,
k C
Для математичного опису випадкових подій — наслідків
експерименту — застосовують такі точні поняття:
прості (елементарні) та складені випадкові події, простір
елементарних подій.

9.

10. 1. КЛАСИФІКАЦІЯ ПОДІЙ

11.

12. 2. ОПЕРАЦІЇ НАД ПОДІЯМИ

В є наслідком події А
Якщо кожна поява події А супроводжується
появою події В, то пишуть А ⊂ В
Якщо А ⊂ В, то кожна елементарна подія,
що входить до А, міститься і в події В.

13. 2. ОПЕРАЦІЇ НАД ПОДІЯМИ

ПОЗНАЧАЄТЬСЯ
С=А+B або С = А В
Подія А + В відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається або подія А або подія В або і
А і В одночасно

14.

2. ОПЕРАЦІЇ НАД ПОДІЯМИ
ПОЗНАЧАЄТЬСЯ
А В =
Подія АВ відбувається тоді і тільки тоді, коли одночасно
відбуваються події і А і В.

15. 2. ОПЕРАЦІЇ НАД ПОДІЯМИ

\ А
ПОЗНАЧАЄТЬСЯ
А
принаймні один – жодного
А+ А =

16. 2. ОПЕРАЦІЇ НАД ПОДІЯМИ

ПОЗНАЧАЄТЬСЯ
А-B
або А\ B
Подія А\В відбудеться тоді і тільки тоді, коли подія А відбудеться, а подія B не відбудеться

17. 2. ОПЕРАЦІЇ НАД ПОДІЯМИ

18. ОЗНАЧЕННЯ ІМОВІРНОСТІ

Виникнення теорії ймовірностей як науки відповідає середині 17 століття. Перше
означення ймовірності запропонував Бернуллі
Ймовірність
відбудеться
= –; ступінь
; ; ; впевненості в тому, що подія
= ;
; ; ;
0
1
2
4
7
0
1
2
4
7
ставлення до вірогідності як частини до цілого
ОЗНАЧЕННЯ ЙМОВІРНОСТІ
КЛАСИЧНЕ
ГЕОМЕТРИЧНЕ
СТАТИСТИЧНЕ
АКСІОМАТИЧНЕ
Класичне означення ймовірності сформульовано ще в курсі лекцій Лапласа

19. КЛАСИЧНЕ ОЗНАЧЕННЯ ЙМОВІРНОСТІ

Нехай
1) простір елементарних подій Ω є скінченним
= 1; 2 ;...; n
2) всі елементарні продії рівноможливі.

20. КЛАСИЧНЕ ОЗНАЧЕННЯ ЙМОВІРНОСТІ

21. Задача на безповторну вибірку. Гіпергеометричний розподіл

Нехай в урні знаходиться М куль, R-білі, інші чорні. З
урни дістають m куль, знайти ймовірність того, що r – з
них білі.
Загальна кількість
Білі кулі
Чорні кулі
Було
M
Вибрали
m
R
M-R
r
m-r

22. Задача на безповторну вибірку. Гіпергеометричний розподіл

• Приклад 5. Група туристів з 15 юнаків і 5 дівчат обирають за
жеребкуванням господарчу команду в складі чотирьох чоловік. Яка
ймовірність того, що в складі цієї команди будуть: а) 2 юнака і 2 дівчини;
б) жодного юнака; в) принаймні один юнак.
• Розв'язання:
• а) А - в складі команди будуть 2 юнака і 2 дівчини.
Всього
М=20
R=5
M-R=15
туристів
дівчат
юнаків
Вибрали
m =4
r=2
m-r=2
5!
15!
2
C52 C15
P ( A) =
= 3! 2! 13! 2! = 0.217
4
20!
C 20
16! 4!

23. Задача на безповторну вибірку. Гіпергеометричний розподіл

.
• б) В – жодного юнака.
Всього
Вибрали
М=20
туристів
т=4
R=5
дівчат
r=4
M-R=15
юнаків
m-r=0
0
C54 C15
P (B ) =
= 0.001
4
C 20
• в) С - принаймні один юнак.
• C = B - жодного юнака в команді.
P(C ) = 1 − P(B) = 0.999

24. Задача на безповторну вибірку. Гіпергеометричний розподіл

25. Задача на безповторну вибірку. Гіпергеометричний розподіл

xi
pi
0
1
2
0,4360 0,4130 0,1324
3
0,0176
4
5
6
0,00097 1,8*10-5 7,2*10-8

26. Статистичне означення ймовірності

27. Статистичне означення ймовірності

• Нехай
• 1) існує можливість проводити необмежену кількість випробувань;
• 2) спостерігається стійкість відносних частот появи події в різних серіях
великої кількості випробувань.

28. ГЕОМЕТРИЧНЕ ОЗНАЧЕННЯ ЙМОВІРНОСТІ

Джон Венн (англ. John Venn; 4 серпня 1834, Кінгстон-апонХалл (Йоркшир) — 4 квітня 1923, Кембридж) —
англійський логік і філософ.
Геометрична інтерпретація ймовірності була запропонована
англійським математиком Венном
Геометричне означення ймовірності застосовується в тих випадках,
коли простір елементарних подій є нескінченним.

29. 5. ГЕОМЕТРИЧНЕ ОЗНАЧЕННЯ ЙМОВІРНОСТІ

довжина CD CD
Р( A) =
=
довжина AB AB
g G
площа g S ( g )
Р( A) =
=
площа G S (G )
об'єм t V (t )
Р( A) =
=
об'ємT V (T )

30. 5. ГЕОМЕТРИЧНЕ ОЗНАЧЕННЯ ЙМОВІРНОСТІ

Всі три визначення можна звести до одного, якщо замість
числових характеристик області вжити термін міра області –
mes.
Означення. Геометричною ймовірністю події називають
відношення міри області d, що сприяє появі події А, до міри
всієї області D.
mes(d)
Р( A) =
mes(D)

31. ПРИКЛАД

Двоє друзів домовилися зустрітися між 12 і 13 годинами дня.
Задача: Той що прийшов першим чекає другого протягом 20 хвилин, після
чого йде. Знайти ймовірність того, що зустріч відбудеться,
якщо кожен навмання вибирає час свого приходу від 12 до
13 годин.
Розв’язання
= (x; y ) R 2 : 0 x 1;0 y 1
1
2
C = (x; y ) R : 0 x 1;0 y 1, y − x
3
x−
1 2
1− 2
пл.С
2 3
P(C ) =
=
пл.
1
2
=
5
9
1
1
y x+
3
3

32.  

.
або
Розв’язання
= ( ; x ) R 2 : 0 ; 0 x a

33. Задача Бюффона

34. ВЛАСТИВОСТІ ЙМОВІРНОСТІ

0 P ( B) 1
A, B Ω
P( ) = 0
P ( Ω) = 1
A, B S
( )
( )
P A = 1 − P ( A), або P ( A) + P A = 1 A Ω
P( A + B) = P( A) + P(B) − P( AB)
A, B Ω
ЯкщоA B, тоP( A) P( B)
A, B Ω

35. АКСІОМАТИЧНЕ ОЗНАЧЕННЯ ЙМОВІРНОСТІ