Розділи
Лабораторні роботи
Середовища
Середовища
Звітність
Тема: Комбінаторика. Основні поняття теорії ймовірності
ПРЕДМЕТ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ
СТАТИСТИЧНЕ ОЗНАЧЕННЯ ЙМОВІРНОСТІ.
ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ
Впорядковані множини
Розміщення, перестановки, комбінації
Комбінації з повтореннями
Простір елементарних подій. Операції над випадковими подіями
727.07K
Category: mathematicsmathematics

Прикладна статистика та ймовірнісні процеси

1.

Прикладна статистика
та ймовірнісні процеси
Лектор: доцент Сас Наталія Богданівна

2. Розділи

Теорія ймовірності
Математична статистика
Ймовірнісні процеси

3. Лабораторні роботи

Комбінаторика (Розміщення, перестановки,
комбінації, біном Ньютона)
Дискретний випадковий процес з
рівномірним розподілом.
Моделювання випадкових чисел.
Моделювання випадкових чисел з відомими
законами розподілу

4. Середовища

C/C++ (консольний проект)
Code::Blocks IDE
• Microsoft Visual
Studio IDE

5. Середовища

Звітність
Лабораторний практикум – 50
балів
Іспит – 50 балів
Іспит = Білет+ усна співбесіда

6. Звітність

Тема: Комбінаторика.
Основні поняття теорії
ймовірності

7. Тема: Комбінаторика. Основні поняття теорії ймовірності

ПРЕДМЕТ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ
Процес реалізації певного комплексу умов називається
експериментом.
Випадкова подія - це подія, яка може відбутись або не
відбутись в результаті здійснення деякого експерименту,
тобто в результаті реалізації певного комплексу умов.
Предметом теорії ймовірностей є вивчення кількісних
закономірностей, характерних для масових однорідних
випадкових подій.
Предмет математичної статистики - дослідження
закономірностей, яким підпорядковані масові випадкові
явища, на підставі статистичних даних - результатів
спостережень.

8. ПРЕДМЕТ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

СТАТИСТИЧНЕ ОЗНАЧЕННЯ
ЙМОВІРНОСТІ.
Нехай деякий експеримент здійснюється n разів і при
цьому в результаті m випробувань відбувається подія
А. Відношення m/n називається відносною частотою
появи події А в серії з n випробувань.
Ймовірністю події називається об’єктивно існуюча
величина, навколо якої групуються відносні частоти
цієї події при великій кількості випробувань.
Позначаємо Р(А) - ймовірність події А.

9. СТАТИСТИЧНЕ ОЗНАЧЕННЯ ЙМОВІРНОСТІ.

ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ
Комбінаторика - розділ математики, предметом якого
є теорія скінченних множин.
Множина - сукупність об’єктів довільної природи, які
володіють спільною для всіх них характеристичною
властивістю.
Правило суми.
Правило добутку (основне правило комбінаторики):
якщо першу дію можна здійснити n1 способами,
другу, яка не залежить від першої, n2 - способами, ...,
k , яка не залежить від усіх попередніх, nk способами, то першу, другу, ..., k -ту дії послідовно
можна здійснити n1 n2 ... nk способами.

10. ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ

Впорядковані множини
Множина М називається впорядкованою, якщо в
ній встановлено відношення порядку, що має такі
властивості:

11. Впорядковані множини

Розміщення, перестановки, комбінації

12. Розміщення, перестановки, комбінації

13.

Перестановки з повтореннями

14.

Комбінації з повтореннями

15. Комбінації з повтореннями

Біноміальні коефіцієнти
Кількість сполучень без повторень , ще називають
біноміальними коефіцієнтами
k
n!
n An
C C n, k
k k ! k ! n k !
k
n
Властивості біноміальних коефіцієнтів
1. Симетричність:
Cnk Cnn k
Доведення:
Cnn k
n!
n!
n!
Cnk
n k ! n n k ! n k !k ! k ! n k !

16.

Біноміальні коефіцієнти
2. Рівність Паскаля:
рекурентне співвідношення
Cnk Cnk 1 Cnk 11
Зауваження:
Для чисел Стрілінга 2-го роду існує подібне рекурентне співвідношення:
Ф n, k Ф n 1, k 1 kФ n 1, k
C n, k C n 1, k 1 C n 1, k

17.

Біноміальні коефіцієнти
Cnk Cnk 1 Cnk 11
Трикутник Паскаля:
k
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
3
1
4
5
1
1
4
5
6
10
4
10
1
5
1
6
1
6
15
20
15
6
1
7
1
7
21
35
35
21
7
1
8
9
1
1
8
9
28
36
56
84
70
126
56
126
28
84
8
36
1
9
1

18.

Біноміальні коефіцієнти
Трикутник Паскаля:

19.

Біноміальні коефіцієнти
Унімодальна послідовність:
Послідовність pn дійсних чисел називають унімодальною, якщо існує такий
натуральний номер m , що p0 p1
pm ; pm pm 1 pm 2
pn , тобто:
послідовність строго зростає на відрізку 0, m , m 0 ;
послідовність строго спадає на відрізку m 1, n , m 1 n ;
максимальне значення досягається не більше ніж у двох точках: m і,
можливо, m 1.
m
m m+1

20.

Біноміальні коефіцієнти
Унімодальна послідовність:
Теорема.
За
C , k 0,1,2,
k
n
фіксованого
n
послідовність
біноміальних
, n - унімодальна.
У разі парного n максимум досягається в точці m
У разі непарного – у двох точках: m
n
.
2
n 1
n 1
та m 1
.
2
2
3. Рівність Вандермонда:
Нехай m, n, r – невід’ємні цілі числа, причому r min m, n .
Тоді C
r
m n
r
Cmr k Cnk .
k 0
коефіцієнтів

21.

Біном Ньютона
Теорема (біноміальна). Нехай x та y – змінні, n – додатне ціле
число. Тоді:
x y
n
n
C x y
j 0
j
n
j
n j
n
Cnj x n j y j
j 0
Легко переконатись, що:
x y
n
n
1 Cnj x n j y j
j
j 0
n
j n j j
x
y
1
C
n x y
n
j 0
j

22.

Біном Ньютона
Приклад.
Знайдемо розклад виразу
x y
4
. Скориставшись біноміальною теоремою,
можемо записати:
x y
4
C40 x 4 C41 x3 y C42 x 2 y 2 C43 xy 3 C44 y 4
x 4 4 x3 y 6 x 2 y 2 4 xy 3 y 4 .
Біноміальні коефіцієнти можна брати з трикутника Паскаля чи обчислювати за
формулою для кількості сполучень без повторень.
Приклад.
Визначимо коефіцієнт при x12 y13 в розкладі
x y
коефіцієнт дорівнює
13
C25
25!
5200300 .
13!12!
25
. Очевидно, що цей

23.

Біном Ньютона
Властивість 4.
n
C
k 0
k
n
2n
Доведення:
n
n
2 1 1 C 1 1 Cnk
n
n
k 0
k n k k
n
k 0
Зауваження:
Для заданої множини А можна розглянути множину всіх її підмножин,
зокрема порожню множину і саму множину А. Цю множину позначають 2А
чи Р(А) й називають множиною-степенем, чи булеаном множини А. Для
скінченної множини А множина 2A містить 2
A
елементів.
Приклад. Нехай A 0,1,2 . Тоді
2 A , 0 , 1 , 2 , 0,1 , 0,2 , 1,2 , 0,1,2 . Ця множина містить 23 = 8
елементів.

24.

Простір елементарних подій.
Операції над випадковими подіями

25. Простір елементарних подій. Операції над випадковими подіями

26.

27.

28.

29.

30.

Класичне та геометричне означення ймовірності

31.

ДЯКУЮ ЗА УВАГУ!
English     Русский Rules