Взаимное расположение сферы и плоскости; касательн

1.

Взаимное расположение сферы и плоскости;
касательная плоскость к сфере; площадь сферы
Геометрия 11

2.

Содержание урока
1
Исследование взаимного расположения сферы
и плоскости в зависимости от радиуса сферы и
расстояния от её центра до плоскости.
2
Определение касательной плоскости к сфере и
её свойства, их применение в процессе
решения задач.
3
Анализ сечений сферы и шара, вычисление
площадей данных сечений.

3.

Сфера и её элементы
Повторяем
Назовите: 1) Радиусы; 2) Центр;
3) Диаметры; 4) Формулу S сферы.
H
K
1) Радиусы: OH, OK, OE, OF, OD.
O
2) Центр: O.
D
E
F
3) Диаметры: KD, FH.
4) Формула S сферы: S = 4πR².

4.

Сфера и шар
Повторяем
Какое из утверждений верно?
А) Сфера и шар – одно и то же геометрическое тело.
Б) Сфера – это поверхность, а шар – это тело,
ограниченное сферой.
В) Шар – это поверхность, а сфера – это тело.
Г) Сфера имеет объем, а шар – только площадь
поверхности.
Ответ: Б.

5.

Площадь поверхности сферы
Повторяем
Радиус сферы равен 5 см. Найдите
площадь поверхности сферы.
Ответ: 100π см².
Площадь поверхности сферы равна
144π см². Найдите её радиус.
Ответ: 6 см.
Найдите отношение площадей
сфер, радиусы которых равны 3 см
и 9 см.
Ответ: 9.

6.

Сфера и плоскость
Обозначаем
O – центр сферы
α – заданная плоскость
R
O
m
α
A
R – радиус сферы
m – расстояние от центра
сферы до плоскости α
OA – перпендикуляр к
плоскости α

7.

Сфера и плоскость
Исследуем
R
O
m
1
Рассмотрите рисунок,
определите: Взаимное
расположение сферы и
плоскости; количество их
общих точек.
m>R
α
A
Сфера и плоскость α не имеют
общих точек.

8.

Сфера и плоскость
Исследуем
O
α
A
m R
2
Рассмотрите рисунок,
определите: Взаимное
расположение сферы и
плоскости; количество их
общих точек.
m<R
Сфера и плоскость α имеют
более одной общей точки.

9.

Сфера и плоскость
Исследуем
O
R
m
α
A
3
Рассмотрите рисунок,
определите: Взаимное
расположение сферы и
плоскости; количество их
общих точек.
m=R
Сфера и плоскость α имеют
только одну общую точку.

10.

Сфера и плоскость
Классифицируем
m>R
m<R
m=R
Сфера и плоскость α
не пересекаются
Сфера и плоскость α
пересекаются
Сфера и плоскость α
касаются

11.

Сечение сферы плоскостью
Анализируем
r
Сфера и плоскость имеют множество
общих точек, плоскость не проходит
через центр сферы.
Если m < R, то:
1) Сечение сферы плоскостью является
окружностью радиуса r:
r = R² − m²
r
m<R
2) Сечение шара плоскостью является
кругом радиуса r:
r = R² − m²

12.

Сечение сферы плоскостью
Анализируем
R
Сфера и плоскость имеют множество
общих точек, плоскость проходит через
центр сферы.
Если m = 0, то:
1) Сечение сферы плоскостью является
окружностью радиуса R.
R
O
m=0
2) Сечение шара плоскостью является
кругом радиуса R, такой круг называется
большим кругом.
3) Радиус круга равен радиусу сферы
(шара).

13.

Особый случай
Анализируем
Сфера и плоскость имеют только одну
общую точку, m = R:
Плоскость, имеющая со сферой только
одну общую точку, называется
касательной плоскостью к сфере, а их
общая точка называется точкой касания
плоскости и сферы.
α – касательная плоскость к сфере.
m=R
A – точка касания сферы и плоскости.

14.

Касательная плоскость: Свойства
Теорема:
Радиус сферы, проведённый в точку касания
сферы и плоскости, перпендикулярен к
касательной плоскости.
Обратная теорема:
Если радиус сферы перпендикулярен к
плоскости, проходящей через его конец,
лежащий на сфере, то эта плоскость является
касательной к сфере.

15.

Задание 1.
Поставьте в соответствие условия
левого и правого столбцов:
Если расстояние от центра сферы до
плоскости равно 3, а радиус сферы равен 8,
то сфера и плоскость:
Имеют 1 общую
точку
Если расстояние от центра сферы до
плоскости равно 8, а радиус сферы равен 3,
то сфера и плоскость:
Имеют множество
общих точек
Если расстояние от центра сферы до
плоскости равно 8, и радиус сферы равен 8,
то они сфера и плоскость:
Не имеют общих
точек
Ответ: 1 – 2, 2 – 3, 3 – 1.

16.

Задание 2.
R
1м
7 дм
3м
15 см
2,30 м
m
100 см
80 см
301 см
2 см
230 см
Заполните таблицу:
Взаимное расположение
1 общая точка
Нет общих точек
Нет общих точек
Множество общих точек
1 общая точка

17.

Задание 3.
Расстояние от центра сферы до плоскости равно 6
см, а радиус сферы – 10 см. Найдите радиус
сечения сферы этой плоскостью.
Решение:
10
6
Сечением сферы плоскостью является
окружность, случай, когда m < R
Воспользуемся формулой:
r = R² − m²
r = R² − m² = 10² − 6² = 8 см.
Ответ: 8 см.

18.

Задание 4.
Плоскость касается сферы радиусом 6 см в точке
A. Найдите расстояние от центра сферы O до
касательной плоскости.
Решение:
Сфера и плоскость имеют только одну общую точку: m = R, m = 6 см.
Задание 5.
Через центр сферы проведена плоскость. Какова
площадь получившегося сечения, если радиус
сферы равен 11 см?
Решение:
Площадь большого круга вычисляется: S = πR² = π11² = 121 π см².