Презентация по математике на тему _Комплексные числа_

1. Комплексные числа

КОМПЛЕКСНЫЕ
ЧИСЛА

2. Основные понятия

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Комплексным числом z называют выражение:
z = a + i b,
где а и b – действительные числа, i – мнимая единица,
определяемая равенством:
i = − 1 i 2 = −1
а называется действительной частью числа z,
b – мнимой частью.
Если а = 0, то число i b называется чисто мнимым.
Если b = 0, то получается действительное число а.
Два комплексных числа, отличающиеся только знаком мнимой
части, называются сопряженными:
z = a + i b,
z = a − i b,

3. Геометрическое изображение комплексных чисел

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ
КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Всякое комплексное число z = a + i b, можно изобразить на
плоскости XOY в виде точки A(a; b).
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа,
называют плоскостью комплексной переменной.
y
z
Точкам, лежащим на оси OX,
A(a; b)
b
соответствуют действительные числа
(b = 0), поэтому ось OX называют
действительной осью.
a х
0
Точкам, лежащим на оси OY , соответствуют чисто мнимые числа
(a = 0), поэтому ось OY называют мнимой осью.
Иногда удобно считать геометрическим изображением
комплексного числа z вектор OA

4. Действия над комплексными числами

ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ
ЧИСЛАМИ
1
Действия над мнимой единицей.
i 2 = −1; i 3 = −i; i 4 = −i i = 1; i 5 = i
При любом целом k:
i 4 k = 1;
i 4 k +1 = i;
i 4 k + 2 = −1;
i 4 k +3 = −i

5. Действия над комплексными числами

ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ
ЧИСЛАМИ
2
Равенство комплексных чисел.
Два комплексных числа z1 = a1 + i b1 и z 2 = a2 + i b2
называются равными : z1 = z 2 , если a1 = a2 , b1 = b2
Комплексное число z = a + i b равно нулю , тогда и только
тогда, когда a = 0, b = 0
3
Сложение и вычитание комплексных чисел.
Суммой (разностью) комплексных чисел z1 = a1 + i b1 и
z 2 = a2 + i b2 называется комплексное число, определяемое
равенством:
z1 + z 2 = (a1 + i b1 ) + (a2 + i b2 ) = (a1 + a2 ) + i (b1 + b2 )
z1 − z 2 = (a1 + i b1 ) − (a2 + i b2 ) = (a1 − a2 ) + i (b1 − b2 )

6. Действия над комплексными числами

ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ
ЧИСЛАМИ
4 Умножение комплексных чисел.
Умножением комплексных чисел z1 = a1 + i b1 и z 2 = a2 + i b2
называется число, получаемое при умножении этих чисел по
правилам алгебры как двучлены
На основании этого правила получим:
z1 z 2 = (a1 + i b1 ) (a2 + i b2 ) =
= a1 a2 + i b1 a2 + i b2 a1 + i 2 b1 b2
z1 z 2 = (a1 a2 − b1 b2 ) + i (b1 a2 + b2 a1 )
Произведение сопряженных комплексных чисел:
2
2
2
2
=
a
−
(
i
b
)
=
a
+
b
z z = ( a + i b) ( a − i b)
z z = a2 + b2

7. Действия над комплексными числами

ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ
ЧИСЛАМИ
5
Деление комплексных чисел.
Чтобы разделить
z1 = a1 + i b1 на z 2 = a2 + i b2
необходимо умножить делимое и делитель на число, сопряженное
делителю:
z1 a1 + i b1
=
z 2 a2 + i b2
(a1 + i b1 ) (a2 − i b2 )
=
=
(a2 + i b2 ) (a2 − i b2 )
(a1a2 + b1b2 ) + i (a2b1 − a1b2 ) a1a2 + b1b2
a2b1 − a1b2
=
=
+i 2
2
2
2
2
a2 + b2
a2 + b2
a2 + b22

8. Действия над комплексными числами

ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ
ЧИСЛАМИ
Найти произведение и частное комплексных чисел:
z1 = 2 + 3i,
z 2 = 1 − 4i
= -1
z1 z 2 = (2 + 3i ) (1 − 4i ) = 2 + 3i − 8i − 12i 2 =
= 2 + 3i − 8i + 12 = 14 − 5i
z1 2 + 3i
=
z 2 1 − 4i
(2 + 3i ) (1 + 4i )
=
=
(1 − 4i ) (1 + 4i )
2 + 3i + 8i − 12
=
17
− 10 + 11i
=
17
2 + 3i + 8i + 12i 2
=
2
2
1 +4
10 11
− + i
17 17

9.

Пример: z1=3+2i; z2=5-i
Найти: 1.z1+z2
2.z1-z2
3.z1z2
4.z1z1
5.(z1)