вис 9 кл

1. Среднее арифметическое числового набора

Пять мальчиков собирали орехи. Первый – 49,
второй- 67, третий – 36. четвертый – 27, пятый –
46.
Сколько орехов мальчики собрали в среднем?
.
(49+67+36+27+46):5 = 225:5= 45
Ответ: 45 орехов в среднем собрал каждый
мальчик.

2. Среднее арифметическое числового набора — это число, которое представляет собой сумму всех чисел в наборе, разделённую на их

Среднее арифметическое числового набора — это
число, которое представляет собой сумму всех чисел в
наборе, разделённую на их количество.
• Оно показывает центральный показатель
набора данных и позволяет понять, какое
значение можно считать типичным или
характерным для этого набора чисел.
• Числовой набор — это неупорядоченная,
конечная последовательность чисел.
Например, оценки в школьном журнале:
5, 4, 3, 5, 2, 4 и так далее.

3. Мода ряда чисел  - это число, которое встречается в данном ряду чаще всего. Она показывает наиболее типичное значение в наборе

Мода ряда чисел - это число, которое встречается в данном
ряду чаще всего.
Она показывает наиболее типичное значение в наборе данных
• Чтобы найти моду, нужно подсчитать, сколько раз
каждое число встречается в ряду, и выбрать то,
которое повторяется наибольшее количество раз.
Пример:
✓ Рассмотрим ряд чисел: 4, 5, 4, 3, 4.
✓ Число 4 встречается 3 раза.
✓ Число 5 встречается 1 раз.
✓ Число 3 встречается 1 раз.
✓ Мода этого ряда — 4, так как она имеет
наибольшую частоту повторения.

4.

Важные нюансы
❑ Одна мода. Если только одно число встречается чаще других,
ряд называется одномодальным.
❑ Несколько мод. Если два или больше чисел встречаются
одинаково часто и чаще остальных, ряд
называется мультимодальным (например, ряд 7, 7, 21, 2, 5, 5
имеет две моды — 7 и 5).
❑ Моды нет. Если все числа в ряду встречаются одинаковое
количество раз (то есть все значения уникальны), то моды у
ряда нет
Моду часто используют, когда нужно определить самое
популярное, востребованное или часто встречающееся
значение. Например, в магазине она покажет самый
продаваемый размер одежды, а в социологии —
наиболее распространённый ответ в анкете.

5. Размах числового набора — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в этом наборе. Он показывает, насколько широко

Размах числового набора — это разность между
наибольшим и наименьшим значениями в этом наборе. Он
показывает, насколько широко разбросаны данные.
Формула для вычисления размаха:
R = Xmax - Xmin,
где R — размах, Xmax — максимальное
значение, Xmin — минимальное значение в
наборе данных.
Некоторые особенности размаха:
• всегда является неотрицательным числом;
• равен нулю только в случае, когда все
значения в выборке одинаковы.

6.

Пример расчёта:
Пусть есть набор чисел: 1, 3, 2, 1, 4, 5, 3, 2, 7, 5, 4, 3, 2,
2].
Максимальное значение (Xmax) — 7, минимальное
(Xmin) — 1.
Размах (R) = 7 − 1 = 6.
Применение размаха:
• оценка разнообразия данных (большой размах
указывает на сильное рассеивание значений,
маленький — на их однородность);
• сравнение вариабельности разных наборов данных;
• подготовка к дальнейшему анализу (например,
перед расчётом дисперсии или стандартного
отклонения).

7.

Наибольшее и наименьшее значения числового набора — это
крайние числа в упорядоченном по возрастанию или убыванию
числовом наборе. Иногда их называют минимальным и
максимальным значениями или даже короче — минимум и максимум
• Наибольшее значение — это не то значение, которое больше всех
остальных чисел в наборе, а то значение, которое не меньше всех
других (больше или равно).
Пример: в спорте наибольшее значение важно, когда на отдельный
результат влияет множество факторов, например, в прыжках в длину
засчитывается самый лучший результат спортсмена.
• Наименьшее значение — то, которое не больше всех других чисел.
Пример: наименьшее значение может быть важным, когда нужно
учитывать самое маленькое число в наборе, например, при
измерении глубины судоходных рек и каналов в разных местах.
Важно: если в наборе все числа совпадают, то наименьшее и
наибольшее значения тоже совпадут. Например, дан набор из 5
чисел, которые все равны между собой: 4, 4, 4, 4, 4. Наименьшее
значение равно 4, наибольшее значение тоже равно 4.

8. Медиана числового набора — это значение, которое делит упорядоченный (по возрастанию или убыванию) набор чисел на две равные по

Медиана числового набора — это значение, которое делит
упорядоченный (по возрастанию или убыванию) набор чисел на две
равные по количеству элементов части. То есть половина чисел в наборе
не больше медианы, а половина — не меньше.
Чтобы найти медиану, нужно:
1. Упорядочить набор чисел по возрастанию (получить
вариационный ряд).
2. Если количество чисел в наборе нечётное, то медианой будет
число, стоящее посередине.
3. Если количество чисел чётное, то медианой обычно считают
среднее арифметическое (полусумму) двух чисел, стоящих в
середине

9.

Устойчивость медианы — это свойство, при
котором медиана мало меняется при
значительном изменении отдельных крайних
значений в наборе чисел. В статистике это
означает, что медиана менее чувствительна к
выбросам — значениям, которые резко
отличаются от остальных данных.
Пример, иллюстрирующий устойчивость
медианы: Рассмотрим набор
первых 10 натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9, 10. Среднее арифметическое и медиана в
этом случае совпадают и равны 5,5

10.

Почему медиана устойчива? Это связано с тем,
что при её вычислении учитываются только
серединные значения в упорядоченном ряду,
а не все числа набора. Даже существенное
отклонение одного значения из набора не
может сильно «сдвинуть» медиану с её места.
Устойчивость медианы — важное свойство,
которое делает её полезной мерой центра в
современной статистике, особенно при
анализе данных с выбросами или
неравномерным распределением. В таких
случаях медиана может дать более точное
представление о числовом наборе, чем
среднее арифметическое

11.

Стандартное отклонение числового набора — это статистическая мера,
показывающая, насколько значения в наборе данных рассеяны
относительно среднего арифметического. Проще говоря, это число,
которое показывает, насколько типичные значения отклоняются от
среднего.
Зачем нужно стандартное отклонение:
• оценка разброса данных;
• определение однородности группы — низкое отклонение означает,
что данные сгруппированы плотно;
• выявление выбросов — значения, отстоящие от среднего более чем
на 2–3 стандартных отклонения, обычно считаются аномалиями;
• оценка точности измерений — особенно важно в научных
экспериментах;
• расчёт доверительных интервалов — критически важно для
статистических выводов.

12.

Свойства
❖ Стандартное отклонение никогда не бывает
отрицательным.
❖ Если все значения ряда чисел одинаковы, то стандартное
отклонение равно нулю.
❖ Если все числа ряда увеличить или уменьшить на одно и
то же число, то стандартное отклонение не изменится.
❖ Если все числа набора умножить на одно и то же число k,
то стандартное отклонение умножается на k.

13. Отклонения — понятие, которое используется в математике (вероятности и статистике) для оценки, насколько отдельные значения в

Отклонения — понятие, которое используется в математике (вероятности
и статистике) для оценки, насколько отдельные значения в наборе
отличаются от среднего значения.
Отклонением числа от среднего
арифметического (просто отклонением)
называется разность между этим числом и
средним арифметическим набора.
Если число больше среднего арифметического,
отклонение положительное, если меньше —
отрицательное. Значение отклонения равно
нулю, когда среднее арифметическое
совпадает с числом.

14.

Пример
Рассмотрим набор чисел: 2, 5, 10, 13. Среднее
арифметическое этих чисел — 7,5.
Отклонение числа 13 от среднего арифметического:
13 − 7,5 = 5,5.
Отклонение числа 2 от среднего арифметического:
2 − 7,5 = −5,5.
Отклонение числа 5 от среднего арифметического:
5 − 7,5 = -2,5.
Отклонение числа 10 от среднего арифметического:
10 − 7,5 = 2,5.

15.

• Свойство
Сумма отклонений от среднего арифметического
равна нулю.
Это свойство удобно использовать для
самопроверки при вычислении отклонений.
*одни возможные отклонения положительны, а
другие — отрицательны, и в результате их
взаимного погашения среднее значение
отклонения равно нулю

16. Дисперсия числового набора — это среднее арифметическое квадратов отклонений чисел от их среднего арифметического. *Она

Дисперсия числового набора — это среднее арифметическое квадратов
отклонений чисел от их среднего арифметического.
*Она показывает, насколько разбросаны данные относительно среднего
значения: чем больше дисперсия, тем сильнее значения отклоняются от
среднего, а чем она меньше, тем данные плотнее группируются вокруг
среднего

17. Дисперсия набора чисел – разность среднего квадрата значений и квадрата среднего арифметического

18. Дисперсия применяется в разных областях

• Физика
Спектроскопия
Лазерная техника
Оптические приборы
Применение жидких кристаллов
• Химия
Производство лакокрасочных материалов
Клеевые системы и герметики
Текстильная промышленность
Фармацевтика
• Статистика
Бизнес и финансы
Контроль качества
Машинное обучение
Социологические исследования
Финансы
• Медицина
Дисперсионный анализ (ANOVA)
Оценка стабильности показателей пациентов
Анализ результатов экспериментов
Мета-анализ