Лекция (дистант) Последовательность

1. Последовательности и прогрессии

Лекция (дистанционное №2).
12.09.2026
Последовательности и
прогрессии

2. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая последовательность

3.

Числовая
последовательность
–
это
множество чисел, каждому из которых можно
присвоить уникальный номер.
Например, для нашей последовательности:
Всю последовательность мы обычно называем какойнибудь буквой (например, a), и каждый член этой
последовательности – той же буквой с индексом, равным
номеру этого члена: a1, a2 ..., a10, ..., an.

4.

Последовательность
Определение 1.
Функцию вида у= f (х), х ϵ Ν называют
функцией натурального аргумента
или числовой последовательностью
и обозначают у = f (n) или
у1, у2,
у3,…, уn,…, или
(уn).
(аn) – последовательность
а1 ; а2 ; а3 ;…. аn - члены последовательности
Первый
член послед.
n-ый
член послед.

5.  Свойства числовых последовательностей

Свойства числовых последовательностей
Последовательность {an} называется монотонной, если an+1≥ an
или an+1≤an для всех n.
- an+1≥ an- это монотонно неубывающая,
- an+1≤an– монотонно невозрастающая последовательность.
Если an+1>an или an+1< an для всех n, то говорят, что
последовательность {an} строго монотонна (возрастает в первом
случаем и убывает во втором).
Последовательность {an} называется ограниченной, если
существуют такие числа c и C, что для всех членов
последовательности выполняются неравенства c ≤ an ≤ C.
Ограниченной сверху называется последовательность, для которой
существует такое число C, что для всех членов последовательности
выполняется неравенство an ≤ C.
Ограниченной снизу называется последовательность, для которой
существует такое число c, что для всех членов последовательности
выполняется неравенство an ≥ С.
Если говорят, что последовательность ограничена, это означает, что она
ограничена и сверху и снизу.

6.

Если существует такое натуральное T, что, начиная с некоторого n,
выполняется равенство an = an+1, то последовательность
называется периодической, а T-длиной её периода.
Используя понятия монотонности, ограниченности и периодичности,
можно описать немало простейших свойств последовательностей. Вот
некоторые из них:
1) Если последовательность {an} монотонно возрастающая, то
последовательность {-an} монотонно убывающая, и наоборот.
2) Если последовательность {an} монотонно невозрастающая, то
последовательность {-an} монотонно неубывающая, и наоборот.
Монотонно возрастающая ограниченна снизу, монотонно
убывающая – сверху.
Монотонно возрастающая или монотонно убывающая
последовательность не может быть периодической.
Периодическая последовательность всегда ограничена.

7. Примеры бесконечных числовых последовательностей

• 1, 2, 3, 4, 5, … - последовательность
натуральных чисел.
• 2, 4, 6, 8, 10,… - последовательность чётных
чисел.
• 1, 3, 5, 7, 9,… - последовательность нечётных
чисел.
• 1, 4, 9, 16, 25,… - последовательность
квадратов натуральных чисел.
• 2, 3, 5, 7, 11… - последовательность простых
чисел.

8. Способы задания числовых последовательностей

•Словесный
•Аналитический
•Рекуррентный

9. Словесный способ.

Правило задания описано словами, без
указания каких-либо формул или когда
закономерности между элементами
последовательности нет.
Пример 1. Последовательность простых чисел:
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,… .
Пример 2. Произвольный набор чисел:
1,4,12,25,26,33,39,… .
Пример 3. Последовательность четных чисел:
2,4,6,8,10,12,14,16,… .

10.

11.

Примеры последовательностей.
Продолжите ряд: 1, 10, 3, 9, 5, 8, 7, 7,
9, 6…
Продолжите ряд 77, 49, 36, 18…

12.

Примеры последовательностей.
Продолжите ряд: 1, 10, 3, 9, 5, 8, 7, 7,
9, 6…
Ответ: Ряд состоит из двух частей: числа на
нечетных местах: 1, 3, 5, 7, 9...; числа на четных
местах: 10, 9, 8, 7
Продолжите ряд 77, 49, 36, 18…
Ответ: Перемножаются две цифры, входящие
в предыдущее число

13. Аналитический способ задания числовых последовательностей

Последовательность задана аналитически, если указана формула nого члена.
Например,
1)
yn=n2 – аналитическое задание последовательности 1, 4, 9, 16,
…
2) yn=С – постоянная (стационарная) последовательность
2) yn=2n – аналитическое задание последовательности 2, 4, 8, 16, …

14. Рекуррентный способ задания числовых последовательностей

Рекуррентный способ задания последовательности
состоит в том, что указывают правило,
позволяющее вычислить n-ый член, если
известны ее предыдущие члены
1) арифметическая прогрессия задается
рекуррентными соотношениями a1=a, an+1=an + d
2) геометрическая прогрессия b1=b, bn+1=bn * q

15.

Числа Фибоначчи.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 3
Элементы числовой последовательности, в
которой каждое последующее число равно
сумме двух предыдущих чисел.
Леонардо Фибоначчи - итальянский
математик.
(родился около 1170 — умер после 1228),
Последовательность Фибоначчи
рекуррентно задать легко, а
аналитически – трудно.
n
1 1+ 5 1− 5
xn =
−
5 2 2
n

16. Последовательность чисел Фибоначчи

Филлотаксис (листорасположение) —
правило, по которому располагаются,
например, семечки в соцветии
подсолнуха.
Семечки упорядочены
в два ряда спиралей,
один из которых идет
по часовой стрелке,
другой против неё.

17. Арифметическая прогрессия

Числовую последовательность, каждый член
которой, начиная со второго, равен сумме
предыдущего члена и одного и того же числа
d, называют арифметической прогрессией, а
число
d
–
разностью
арифметической
прогрессии.
an+1 = an + d , n є N
d = an+1 - an
Пример: 1, 3, 5, 7, 9, 11, … возрастающая
арифметическая прогрессия,
у которой
d = 2.

18.

Определение
арифметической прогрессии
Разность арифметической
прогрессии
Формула n-го
члена арифметической
прогрессии
Сумма n первых
членов арифметической
прогрессии
Характеристическое
свойство арифметической
прогрессии
an+1 = an + d
d = an+1 - an
an = a1+ d · (n - 1)
a1 + an
Sn =
n
2

19. Геометрическая прогрессия

Числовую последовательность, все члены которой
отличны от нуля и каждый член которой, начиная
со второго, получается из предыдущего члена
умножением на одно и то же число q, называют
геометрической
прогрессией,
а
число
q
–
знаменателем геометрической прогрессии.
bn = bn - 1 · q
bn = b1
· qn - 1
q=
Пример: 54 , 18, 6, 2, … -убывающая
геометрическая прогрессия,
у которой q = 1/3.
bn
bn - 1

20. Задача 2 Найдите закономерности и покажите их с помощью стрелки:

1
1; 4; 7; 10; 13; …
2
В порядке возрастания
положительные нечетные
числа
1
2
3
3
10; 19; 37; 73; 145; …
4
В порядке убывания
правильные дроби
с числителем, равным 1
5
6
6; 8; 16; 18; 36; …
В порядке возрастания
положительные числа,
кратные 5
½; 1/3; ¼; 1/5; 1/6;
Увеличение
на 3
Чередовать увеличение
на 2 и увеличение в 2 раза
4
5
6
1; 3; 5; 7; 9; …
5; 10; 15; 20; 25; …
Увеличение в 2 раза
и уменьшение на 1

21. Найдите закономерности и покажите их с помощью стрелки:

1; 4; 7; 10; 13; …
В порядке возрастания
положительные нечетные
числа
10; 19; 37; 73; 145; …
В порядке убывания
правильные дроби
с числителем, равным 1
6; 8; 16; 18; 36; …
В порядке возрастания
положительные числа,
кратные 5
½; 1/3; ¼; 1/5; 1/6;
Увеличение
на 3
Чередовать увеличение
на 2 и увеличение в 2 раза
1; 3; 5; 7; 9; …
5; 10; 15; 20; 25; …
Увеличение в 2 раза
и уменьшение на 1

22.

Задача 3
Определить, какие числовые
последовательности являются
геометрической прогрессией, а
какие арифметической:
1. 3; 6; 12; 24; 48; 56…
2. 1; 12; 23; 34; 45 …
3. −99; 33; −11…
4. −6; 5; 17; 28; 39…
5. 64; 16; 4; 1…
6. 2; 4; 8; 18…

23.

Сравним наши ответы:
Геометрическая прогрессия – 3, 6.
Арифметическая прогрессия – 2, 4.
Не является ни арифметической, ни
геометрической прогрессиями - 1, 5, 7.

24.

Геометрическая прогрессия {bn} - это числовая
последовательность, первый член которой отличен от
нуля, а каждый член, начиная со второго, равен
предыдущему, умноженному на одно и то же
число q ≠ 0. Это число называют знаменателем
геометрической прогрессии.
q – это число, во сколько раз изменяется каждый последующий член
геометрической прогрессии.

25.

Как вы думаете, каким может быть q?
Положительным и отрицательным, но не нулем. Допустим, что
положительное. Пусть в нашем случае
Чему равен второй член b2 и b3?
q у нас
q=3, а b1=4.
b2=4⋅3=12
b3=12⋅3=36
Соответственно, q>0, то все последующие члены прогрессии имеют одинаковый
знак – они положительны.
А что если q отрицательное? Например, q=−3, а b1=4. Чему равен второй
член b2 и b3?
b2=4⋅(−3)=−12
b3=−12⋅(−3)=36
Если q<0, то знаки членов геометрической прогрессии чередуются.

26.

Вернемся к нашей последней прогрессии q=−3, а b1=4 и
попробуем так же как и в арифметической найти ее 6 член.
Как вы уже догадываетесь, есть два способа его нахождения.
Последовательно умножаем каждый член на q.
• b2=b1⋅ q =4⋅−3=−12
• b3= b1⋅ q ⋅ q = b1⋅ q2 =−12⋅(−3)=36
• b4= b1⋅ q ⋅ q⋅ q= b1⋅ q3 =36⋅(−3)=−108
• b5= b1⋅ q4 =−108⋅(−3)=324
• b6= b1⋅ q5 = 324⋅(−3)=−972
Вывод: Если нам нужно найти значение числа
прогрессии с порядковым номером, то мы умножаем
первый член геометрической прогрессии b1 на
знаменатель q в степени, которая на 1 единицу
меньше, чем порядковый номер искомого числа.

27.

b4=4⋅(−3)4−1=4⋅(−3)3=−108
b6=b1⋅q 6−1
b6=4⋅(−3)6−1=4⋅(−3)5=−972
Приведем формулу в общий вид и
получим:
bn=b1⋅qn−1
уравнение
членов
геометрической прогрессии.

28.

Бесконечно убывающая геометрическая
прогрессия.
Совсем недавно мы говорили о том,
что q может быть как больше, так и меньше
нуля, однако, есть особые значения q при
которых
геометрическая
прогрессия
называется
бесконечно
убывающей.
При
−1<q<1
–
прогрессия
называется
бесконечно убывающей.

29.

Для начала запишем какую-нибудь геометрическую
прогрессию, состоящую из 5 членов.
Допустим, b1=1, а q=1/2, тогда:
bn=b1⋅q n−1
b2=1⋅1/2=1/2
b3=1/2⋅1/2=1/4
b4=1/4⋅1/2=1/8
b5=1/8⋅1/2=1/16
Мы видим, что каждый последующий член меньше
предыдущего в 1/2 раза, но будет ли какое-либо
число bn=0? Вы сразу же ответите – «нет». Вот поэтому
и бесконечно убывающая – убывает, а нулем никогда не
становится.

30.

Свойство арифметической прогрессии.
an=(an+1+an−1)/2 - свойство членов арифметической
прогрессии.
Свойство геометрической прогрессии.
Как найти b3, зная b2 и b4?
Умножим
b2⋅b4=b1⋅q ⋅b1⋅q3= b12⋅q4
1) b2⋅b4=b12⋅q4
2) b3=b1⋅q2 следовательно b3=b2⋅b4 Почему?
((из 1) следует b12= b2⋅b4/ q4 , следовательно b1=b2⋅b4q4
подставим b1 в 2) и сократим q))
свойство членов геометрической
прогрессии

31.

Сумма членов
геометрической прогрессии.