Теория поля

1.

§ 7. Элементы теории поля
Опр. 1. Если в каждой точке M ( x; y; z ) некоторой
пространственной области определено значение некоторой
величины, то говорят, что задано поле этой величины.
Поле называется скалярным, если рассматривается скалярная
величина, и векторным, если каждой точке М области
соответствует некоторый вектор F ( M ).
Иначе говоря, скалярное поле – это скалярная функция вместе со своей
областью определения, векторное поле – векторная функция вместе со своей
областью определения.
Примеры скалярных полей в физике: поля температуры, давления,
плотности масс, электрического потенциала и т. д.
Примеры частиц текущей жидкости, магнитное поле, гравитационное поле,
электростатическое поле и др.. векторных полей: поле некоторой силы
1
(например, силы тяжести), поле скоростей

2.

Опр. 2. Если поле не зависит от времени, то оно называется стационарным
(или установившимся); поле, которое меняется с течением времени, называется
нестационарным.
Например, поле температур охлаждающегося тела - нестационарное.
Мы будем рассматривать только стационарные поля.
Описание скалярного поля u( M ), M ( x; y; z )
!
Основные характеристики скалярного поля:
поверхности уровня (для плоского поля - линии уровня),
производная по направлению
градиент.
Эти понятия мы рассматривали при изучении функций нескольких переменных.
2

3.

Описание векторного поля
ur
r
r
r
F ( M ) P( M )i Q( M ) j R( M )k , M ( x; y; z)
Основные характеристики векторного поля:
векторные линии,
поток,
дивергенция,
циркуляция,
ротор.
3

4.

Опр. 3. Векторной линией поля F ( M ) называется кривая, в
каждой точке M которой вектор F ( M ) направлен по касательной
к этой кривой.
Например, векторными линиями поля скоростей текущей жидкости являются
линии, по которым движутся частицы жидкости (в этом случае векторные линии
называются также линиями тока).
Векторные линии поля тяготения, электрического и магнитного полей
называются силовыми линиями.
Векторные (силовые) линии
электростатического поля,
создаваемого двумя точечными
зарядами противоположных знаков
4

5.

Опр. 4. Точки векторного поля, в которых начинаются векторные линии,
называются источниками поля; точки, в которых оканчиваются векторные линии,
называются стоками поля.
Опр. 5. Точки векторного поля, которые окружены замкнутыми векторными
линиями и через которые не проходит ни одна векторная линия, называются
вихревыми точками поля.
источник
сток
вихревые точки
Векторные (силовые) линии
электростатического поля,
создаваемого двумя точечными
зарядами противоположных знаков
5

6.

Опр. 4. Точки векторного поля, в которых начинаются векторные линии,
называются источниками поля; точки, в которых оканчиваются векторные
линии, называются стоками поля.
Опр. 5. Точки векторного поля, которые окружены замкнутыми векторными
линиями и через которые не проходит ни одна векторная линия, называются
вихревыми точками поля.
Векторные линии поля F ( x; y; z ) P( x; y; z )i Q ( x; y; z ) j R( x; y; z )k
можно найти, решив систему дифференциальных уравнений
dx
dy
dz
.
P( x; y; z ) Q( x; y; z ) R( x; y; z )
Совокупность всех векторных линий поля, проходящих через некоторую
замкнутую кривую, называется векторной трубкой.
6

7.

Опр. 6. Потоком П ( F ) векторного поля
ur
r
r
r
F ( M ) P( M )i Q ( M ) j R( M )k через ориентированную
поверхность называется число, равное ПОВИ-2
П ( F ) F ndS Pdydz Qdxdz Rdxdy.
Отметим, что термин «поток» используется независимо от
ur
физического смысла векторного поля F .
Поток вектора зависит от выбора стороны поверхности (направления
вектора n ); ему присущи и другие свойства, которыми обладает
поверхностный интеграл второго рода.
Если – замкнутая поверхность, то за направление вектора n
обычно берут направление внешней нормали и говорят о потоке
изнутри поверхности : П ( F ) F ndS .
7

8.

ur
Если F – поле скоростей текущей жидкости, то поток этого поля
через замкнутую поверхность равен разности между
количеством жидкости, вытекающей из области , ограниченной
поверхностью , и количеством жидкости, втекающей в эту
Если П ( F ) 0, то в область втекает столько же жидкости,
область.
сколько и вытекает.
Если П ( F ) 0, то из области вытекает больше, чем втекает,
т. е. в области имеются источники поля.
Если П ( F ) 0, то наоборот, имеются стоки поля.
Таким образом, поток через замкнутую поверхность
характеризует суммарную мощность источников и стоков в
области , ограниченной поверхностью .
Для исследования наличия источника или стока поля в отдельной точке
вводится такая характеристика как дивергенция (слово «дивергенция»
означает «расходимость»).
8

9.

ur
Опр. 7. Дивергенцией векторного поля F в точке M называется
число, равное пределу отношения потока поля через замкнутую
поверхность , окружающую точку М, к объему V тела,
ограниченного этой поверхностью, при условии, что поверхность
П ( F )
стягивается в точку М: div F lim
.
ur 0 Vr
r
r
Утв. 1. Дивергенция поля F ( M ) P( M )i Q ( M ) j R( M )k равна
P Q R
div F
.
x y z
Дивергенция характеризует мощность источника (если
div F ( M ) 0 ) или стока (если div F ( M ) 0 ) векторного поля в
точке M. Если div F ( M ) 0, то в точке M, нет ни источника, ни
стока векторного поля.
9

10.

На основании этой формулы можно проверить выполнимость свойств
дивергенции.
1) div a b diva divb
2) div u a u diva a gradu
Т.к. при a P x, y, z i Q x, y, z j R x, y, z k имеем
u a u P x, y, z ; u Q x, y, z ; u R x, y, z
u
P
u
Q
u
R
div u a u P u Q u R P u
Q u
R u
x
y
z
x
x
y
y
z
z
P Q R
u
u
u
u
u diva a grad u
P Q R
x
y
z
x y z
Дивергенция – это дифференциальная и локальная (зависит от точки)
количественная характеристика векторного поля.

11.

Пример 1. Вычислим дивергенцию векторного поля
F 2 xyi ( x y ) j xz 3 k и определим, являются ли точки
М1(1; 1; 1), М2(1; 2; 1), М3(0; 3; 1) источниками или стоками.
P 2 xy;
Q x y
R xz 3.
P
2 y,
x
Q
1,
y
R
3xz 2 ,
z
div F 2 y 1 3 xz 2 .
div F ( M1 ) 2 1 1 3 1 12 2;
div F ( M 2 ) 2 2 1 3 1 12 0;
div F ( M 3 ) 2 3 1 3 0 12 5.
⇒ в точке М1 – сток, в точке М3 – источник,
а в точке М2 поле не имеет ни источника, ни стока.
11

12.

Т 1 [Остроградского – Гаусса]. Если функции P, Q, R и их
частные производные 1-го порядка непрерывны в односвязной
области , ограниченной поверхностью , то поток векторного
ur
r
r
r
поля F ( M ) P( M )i Q ( M ) j R( M )k через поверхность (в
направлении внешней нормали) равен тройному интегралу от
дивергенции этого поля по пространственной области :
F ndS div Fdxdydz,
или
P Q R
Pdydz Qdxdz Rdxdy x y z dxdydz.
Формула Остроградского – Гаусса позволяет свести вычисление ПОВИ-2
12
через замкнутую поверхность к вычислению тройного интеграла.

13.

WWWВИКИСПРАВКАWWWWWWWWWWWWWWWWWW
Михаи́л Васи́льевич Острогра́дский
(1801–1861)
русский математик и механик, академик
Петербургской академии наук, признанный
лидер математиков Российской империи в
1830–1860-е гг. Член-корреспондент
Парижской Академии наук, член
Американской, Римской, Туринской
Академий наук и других научных обществ.
Основные работы относятся к прикладным
аспектам математического анализа,
механики, теории магнетизма, теории
вероятностей. Также внес вклад в алгебру и
теорию чисел.
Долгое время состоял главным наблюдателем за преподаванием
математики в военно-учебных заведениях и оказал прямое влияние на
постановку и методику этого преподавания.
13

14.

Механический смысл дивергенции векторного поля.
Допустим, что векторное поле есть поле скоростей текущей жидкости
пусть плотность этой жидкости ρ=const .
и
Возьмём в поле вектора
замкнутую поверхность S, ограничивающую малый
объём. По теореме Остроградского
П divv dxdydz
T
Применяя теорему о среднем,
получим П div v
V
T
П
где M - некоторая "средняя точка", лежащая в теле T. Отсюда div v M
VT
M
П
Сжимая тело в точку, в пределе получим div v M lim
0 V
T
Вывод: дивергенция векторного поля даёт нам расход жидкости из точечного
источника в единицу времени, т.е. удельную силу источника.
Заметим, что если дивергенция в данной точке положительна, то это значит, что
в этой точке происходит втекание жидкости (т.е. в этой точке сток).

15.

Принимая во внимание это рассуждение, можно дать механическое
истолкование теоремы Остроградского: расход жидкости из тела T,
ограниченного поверхностью S, в единицу времени t равен сумме попарных
произведений сил источников.

16.

Пример 2. Используя формулу Остроградского – Гаусса,
вычислим поток вектора F xy 2 i x 2 y j zk через замкнутую
поверхность : z 4 x 2 y 2 , x 0, y 0, z 0, в направлении ее
внешней нормали.
P Q R
П ( F ) Pdydz Qdxdz Rdxdy
dxdydz,
y z
x
где – пространственное тело, ограниченное поверхностью .
P xy 2 ;
P
y2 ,
x
Q x2 y
R z.
Q
x2 ;
y
R
1,
z
П ( F ) xy 2 dydz x 2 ydxdz zdxdy
( x 2 y 2 1)dxdydz
16

17.

Пример 2. Используя формулу Остроградского – Гаусса,
вычислим поток вектора F xy 2 i x 2 y j zk через замкнутую
поверхность : z 4 x 2 y 2 , x 0, y 0, z 0, в направлении ее
z
внешней
нормали.
2
2
4 r
0
0
0
2
2
2
0
0
d rdr (r 2 1)dz d rdr (r 2 1) z
2
2
2
4 r 2
0
4
2
d r ( r 2 1)(4 r 2 )dr d (4r 3r 3 r 5 )dr
2
0
0
2
28 2
0
0
2 3r r
14
d 2r
d
.
4
6
3 0
3
0
0
4
6
O
2
y
2
x
П ( F ) xy 2 dydz x 2 ydxdz zdxdy
( x 2 y 2 1)dxdydz (r 2 1)rdrd dz
*
17

18.

Опр. 8. Циркуляцией Ц L ( F ) векторного поля
ur
r
r
r
F ( M ) P( M )i Q ( M ) j R( M )k вдоль замкнутой
ориентированной (выбрано направление обхода) кривой L
называется число, равное КРИ-2
Ц L ( F ) F d r Pdx Qdy Rdz.
L
L
Физический смысл: если кривая L расположена в силовом поле, то циркуляция это работа силы поля при перемещении материальной точки вдоль L.
Положительным направлением обхода считается то, при
котором область, ограниченная контуром, остается слева.
18

19.

ur
Если L – замкнутая векторная линия поля F , т. е. в каждой точке
ur
этой линии вектор F коллинеарен касательной к линии, то
ur r
скалярное произведение F d r сохраняет знак: положительный,
ur
если направление вектора F совпадает с направлением обхода
r
ur
векторной линии, и отрицательный, если d r F . Таким
ur
образом, циркуляция векторного поля F вдоль замкнутых
векторных линий отлична от 0.
ur
⇒ если в векторном поле F циркуляция по любому замкнутому
контуру равна 0, то в этом поле нет замкнутых векторных линий, а
значит, нет вихревых точек.
⇒ циркуляция характеризует вращательную способность поля.
Для характеристики вращательной способности поля в точке вводится такое понятие
как ротор (вихрь).
19

20.

Опр. 9. Ротором (или вихрем) векторного поля
ur
r
r
r
F ( M ) P ( M )i Q ( M ) j R ( M )k называется вектор
R Q R P
Q P
rot F
i
k.
j
y z x z
x y
где функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) и их производные первого порядка
по координатам непрерывны в области G
Эту формулу можно записать с помощью символического определителя в виде:
i
rot F
x
P
j
y
Q
k
z
R
Отметим некоторые свойства ротора.
1. Если a – постоянный вектор, то rot a 0 .
20

21.

2. rot c a c rota , где c = const.
3. rot a b rot a rot b .
4.
Если
U
–
скалярная
функция,
a M
–
векторная,
то
rot U a U rota gradU a .
Как видно из определения, ротор вектора a M есть векторная величина,
образующая собственное векторное поле.
Дадим физическое истолкование понятие ротора векторного поля.
Найдем ротор поля линейных скоростей твердого тела, вращающегося вокруг
оси Oz с постоянной угловой скоростью , т.е. ротор вектора
v y i x j
i
rot v
x
y
j k
x
y
x y
0
i 0
j
k
y z
z
z
y
x
x 0

22.

0 0 2 k 2
С точностью до числового множителя ротор поля
представляет собой
угловую скорость вращения твердого тела. С этим связано само название “ротор”
(лат. “вращатель”).
P
2
2
Q
R2
Пример 3. Вычислим ротор поля F ( y z )i 2 yz j x k .
i
j
rot F
x y
P
Q
P Q
i
k
z
x
RR y 2 z 2
j
k
y
i ( x 2 ) (2 yz )
z
z
y
2 yz x 2
j ( x 2 ) ( y 2 z 2 ) k (2 yz ) ( y 2 z 2 )
z
y
x
x
i(0 2 y ) j ( 2 x 2 z ) k (0 2 y)
2 yi 2( x z ) j 2 yk .
22

23.

Т 2 [Стокса]. Если функции P, Q, R и их частные производные 1го порядка непрерывны на поверхности и замкнутый контур L
ограничивает эту поверхность, то циркуляция векторного поля
ur
r
r
r
F ( M ) P ( M )i Q ( M ) j R ( M )k по замкнутому контуру L равна
потоку ротора этого поля через поверхность , причем вектор n
нормали к поверхности направлен в ту сторону, откуда обход
контура L виден против часовой стрелки:
Ц L ( F ) П (rot F ),
или
Формула Стокса устанавливает связь между
L
циркуляцией и ротором векторного поля.
rot F ( M )
Физический
смысл
ротора:
характеризует
направление, в котором плотность циркуляции поля в точке M
будет наибольшей.
Замечание. Формула Грина - частный случай формулы Стокса
23
для плоского векторного поля F ( x; y ) P( x; y )i Q ( x; y ) j .
F d r rot F ndS .

24.

Физический смысл формулы Стокса
Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру равна потоку его
вихря через поверхность, натянутую на этот контур.

25.

WWWВИКИСПРАВКАWWWWWWWWWWWWWWWWWW
Джордж Габрие́ль Стокс
(англ. George Gabriel Stokes)
(1819–1903)
английский математик, механик и физиктеоретик ирландского происхождения. Работал в
Кембриджском университете, внес
значительный вклад в гидро- и газодинамику
(уравнения Навье – Стокса), оптику и
математическую физику.
WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW
25

26.

Основные классы векторных
ur
r
rполейr
F Pi Q j Rk
Опр. 10. Векторное поле
называется
потенциальным (или безвихревым), если существует такая
uuuuuur ur
функция U U ( x; y; z ) (потенциал), что grad U F ,
U
U
U
P;
Q;
R,
x
y
z
т. е. dU Pdx Qdy Rdz во всех точках этого поля.
т. е.
Свойства потенциальных полей (повторяют условия независимости
КРИ-2 от пути интегрирования)
1. Циркуляция потенциального поля по любому замкнутому
контуру равна 0: Ц L ( F ) 0.
B
2. КРИ-2 Pdx Qdy Rdz не зависит от пути интегрирования.
ur r
A ur
3. Поле F – потенциальное rot F 0.
Примеры потенциальных полей:
поле притяжения к неподвижному заряду (гравитационное
поле); электрическое поле напряженности точечного заряда и др.
26

27.

I ( yi x j )
Пример 4. Покажем, что поле H
магнитной
2
2
2 ( x y )
напряженности, создаваемое постоянным током, текущим по
бесконечному прямолинейному проводнику параллельно Oz (I –
сила тока), является потенциальным в любой области пространства,
не содержащей оси Oz.
ur r
ur
3. Поле F – потенциальное rot F 0.
Iy
Ix
P
;Q
2 ( x 2 y 2 )
2 ( x 2 y 2 )
i
j
k
rot H
x
y
z
Iy
Ix
Iy
Ix
00
22
22
22
22
22 ((xx yy )) 22 ( x yy ))
P
Q
;R 0
Ix
i (0)
2
2
z 2 ( x y )
y
0
0
R
Iy
Ix
Iy
j (0)
k
2
2
2
2
2
2
x
z
x
y
2
(
x
y
)
2
(
x
y
)
2
(
x
y
)
0
0
27

28.

I x2 y2 2 x2 I x2 y2 2 y2
i (0 0) j (0 0) k
2
2 2
2
2 2
2 ( x y )
2 ( x y )
I y2 x2 x2 y2
2
2
при
x
y
0.
k
0
2
2 2
2
(x y )
ur r
ur
3. Поле F – потенциальное rot F 0.
Следовательно, поле H является потенциальным в любой области
пространства, не содержащей оси Oz.
i
j
k
rot H
x
y
z
Iy
Ix
Iy
Ix
00
22
22
22
22
22 ((xx yy )) 22 ( x yy ))
P
Q
Ix
i (0)
2
2
z 2 ( x y )
y
0
0
R
Iy
Ix
Iy
j (0)
k
2
2
2
2
2
2
x
z
x
y
2
(
x
y
)
2
(
x
y
)
2
(
x
y
)
0
0
28

29.

ur
Опр. 11. Векторное поле F называется соленоидальным (или
трубчатым), если его дивергенция в каждой точке равна 0:
ur
div F 0.
Свойства соленоидальных полей.
1. Соленоидальное поле не имеет ни источников, ни стоков.
2. Поток соленоидального поля через любую замкнутую
поверхность равен 0: П ( F ) 0 (следует из формулы
Остроградского
ur – Гаусса).
3. Если F – соленоидальное поле, то существует такое
ur ur
ur
векторное поле G , что rot G F .
ur
Упражнение. Проверить, что для любого векторного поля G
ur
выполняется соотношение div rot G 0.
Примеры соленоидальных полей:
поле линейных скоростей вращающегося твердого тела;
поле линейных скоростей потока жидкостей, не имеющее ни
источников, ни стоков;
магнитное поле, создаваемое электрическим током, текущим по
длинному прямолинейному проводу и др.
29

30.

I ( yi x j )
Пример 4 (продолжение). Покажем, что поле H
2 ( x 2 y 2 )
является соленоидальным в любой области пространства, не
содержащей оси Oz.
Iy
Ix
P
2 ( x y )
2
Ixy
P
;
2
2 2
x ( x y )
2
;Q
2 ( x y )
2
2
; R 0;
Ixy
Q
2 2 2 ;
( x y )
y
R
0
z
Ixy
Ixy
P Q R
0 0
div H
2
2 2
2
2 2
( x y )
( x y )
x y z
при x 2 y 2 0.
Следовательно, поле H является соленоидальным в любой области
пространства, не содержащей оси Oz.
30

31.

ur
Опр. 12. Векторное поле F называется гармоническим (или
лапласовым), если оно является потенциальным и соленоидальным
ur r
ur
одновременно, т. е. rot F 0 и div F 0.
ur
Если F - гармоническое поле, то:
1) оно потенциальное, т. е. имеет потенциал – такую функцию
uuuuuur ur
U U ( x; y; z ), что gradU F ;
uuuuuur
ur
divgradU 0;
2) оно соленоидальное, т. е. div F 0;
U r U r U r
div
i
j
k 0;
y
z
x
2
2
2
U
U
U
Это свойство кратко записывают в виде U 0,
2 2 0.
2
2
2
2
x
y
z
где символом
обозначают
x
y
z
преобразование, которое называют оператором Лапласа.
2
2
2
31