Лек 6-7-F(x),f(x), МО 2024

1.

Теория вероятностей
и математическая
статистика

2.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике /Шапарь Ю.В./ 24.10.24
Дискретные случайные
величины

3. Примеры

1) Спортсмен трижды бросает мяч в баскетбольную
корзину. Вероятность попадания при одном
броске равна 0,8. Составить ряд распределения
СВ – числа попаданий в корзину.
2) Спортсмен бросает мяч в баскетбольную корзину
до первого попадания, но не более трёх раз.
Составить ряд распределения СВ – числа бросков.

4.

Решение.

5. Индикатор события (бернуллиева СВ)

Индикатором события А называется
СВ I A равная 1, если в результате
опыта событие А произошло,
и равная 0, если А не произошло.

6.

7. Операции над ДСВ

8.

В случае повторяющихся значений
соответствующие вероятности
складываются.

9.

Вспомогательная таблица:

10.

● Произведение СВ X на число С.

11.

● Функция от ДСВ X .
Пусть X ─ ДСВ, y ( x) ─ числовая функция,
определенная на множестве значений X .
ДСВ Y ( X ) принимает значения yi ( xi ) с
вероятностями pi P( X xi ).

12.

13. Пример

• Даны законы распределения дискретных
случайных величин X и Y
Составить законы распределения СВ
X 2 5, X Y , X Y

14. Решение.

15.

16. Непрерывные СВ

Рассмотрим СВ , имеющую функцию
распределения F ( x ).
F ( x) ─ непрерывна и дифференцируема
всюду, кроме, м.б. отдельных точек.
Опр. Плотностью вероятности СВ
называется производная ее функции
распределения f ( x) F '( x).

17.

Средняя плотность вероятности
(приходящаяся на единицу длины
участка x, x x )

18.

19.

1) f ( x) 0,

20.

3) Для произвольного множества A
P( A) f ( x) dx.
A
4) Условие нормированности: f ( x ) dx 1.
x
5) Функция распределения: F ( x) f (t ) dt.

21. Доказательство.

1) F ( x ) ─ неубывающая f ( x) F '( x) 0.

22.

Функция НСВ

23.

x ( y ) ─ обратная функция.
( ) ─ функция СВ .
Найдем распределение .
Пусть G ( y ) ─ функция распределения НСВ ,
g ( y ) G '( y ) ─ ее плотность вероятности.

24.

G( y ) P( y ) P( ( ) y)
P( ( y)) F ( ( y)), если ( x)
P( ( y )) 1 F ( ( y )), если ( x)

25.

F '( ( y )) '( y ) f ( ( y )) '( y ), если ( x)
g ( y ) G '( y )
F '( ( y )) '( y ) f ( ( y )) '( y ), если ( x)
(если ( x) монотонна)
Если y ( x) на ( a, b) не монотонна, то
следует разбить интервал ( a, b) на
интервалы монотонности, найти g ( y ) на
каждом из них. При этом
искомая плотность вероятности СВ .

26. Пример

СВ равномерно распределена на отрезке
[2,4], т.е. ее плотность вероятности имеет
вид
1
, x [2,4]
f ( x) 2
0, x [2,4]
Найти плотность распределения площади
правильного треугольника со стороной .

27. Решение

3 2
S ( )
НСВ
4
3 2
y ( x)
x
4
2 y
4y
x
x 4 ( y)
3
3
обратная функция
2
[2;4] 3;4 3

28.

По формуле
получаем
1 2 y
1
, y 3;4 3
4 4
2 3
2 3 y
0, y 3;4 3

29.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
31.10.24
Числовые характеристики
случайной величины

30.

Математическое ожидание
Пусть задано вероятностное пространство
и СВ .
Математическим ожиданием СВ называется
число M [ ] ( ) dP( ) , где интеграл
понимается в смысле Лебега.
Математическим ожиданием функции ( ) от СВ
называется число
M [ ( )] ( ( )) dP( ).

31. Математическое ожидание

Распишем определение, исходя из типа СВ.
Опр. Математическим ожиданием
(средним значением) СВ называется
число, вычисляемое по формуле
xi pi , ДСВ
i
M [ ]
x f ( x)dx, НСВ

32.

Если ( ) для некоторой
действительной функции y ( x) , то
( xi ) pi , ДСВ
i
M [ ( )]
( x) f ( x)dx, НСВ

33. Таблица соответствия понятий в ФА и ТВ

Теорема о свойствах МО

34.

Доказательство
Пусть принимает значения x1 , x2 ,..., xn ,
принимает значения y1 , y2 ,..., ym .
Тогда принимает значения xi y j с
вероятностями pij P( xi , y j ) .

35.

n
m
M [ ] ( xi y j ) pi j
i 1 j 1
n
m
n
m
xi pi j y j pi j
i 1 j 1
i 1 j 1
n
m
m
n
i 1
j 1
j 1
i 1
xi pi j y j pi j

36.

Следствия
M C M C
M M [ ] 0

37. Распишем определение, исходя из типа СВ.

Доказательство п.5)
, ─ независимые pij P( xi , y j )

38.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь