Презентация КА_7.04.20

1.

Условие задачи и комментарии
Задача корреляционного анализа:
1. Установление факта наличия или отсутствия связи между изучаемыми признаками.
2. Определение формы связи, и ее направленности.
3. Вычисление показателя тесноты связи и его оценка.
В предыдущей задаче корреляционного анализа методом Пирсона – мы устанавливали взаимосвязь
двух признаков, при этом признаки были разбиты по парам – значению одного признака
соответствовало строго определенное значение другого. Отличительной особенностью
предстоящего анализа является использование корреляционной решетки. Она строится в том случае,
когда количество парных признаков большое, поэтому для удобства признаки показаны интервалами.

2.

Перед построением корреляционной таблицы так же, как и при построении вариационного ряда,
делаются вспомогательные расчеты. При этом для каждого из признаков отдельно определяется
максимальная Vmax и минимальная (Vmin) варианты и размер ряда (р.р.), который будет равен Vmax -Vmin.
Количество классов принимается равным от 8 до 12.
Величина интервала ( ) определяется как частное от деления размера ряда на количество классов. Для
вычисления среднего значения начального класса к минимальной варианте
прибавляют половину интервала.
На следующем слайде представлен пример построения корреляционной решетки. Исследуется связь
продолжительности технического обслуживания (y) от пробега (x) тяговой единицы (ТЕ).
Например: тяговых единиц, имеющих пробег от 10 до 14 тыс.км.(первая строка таблица) всего 4,
при этом 3 имеют продолжительность ТО в интервале от 1,25 до 1,75 часов (пересечение первой
строки и первого столбца) и 1 тяговая единица в интервале от 1,17 до 2,25 часов (пересечение первой
строки и второго столбца). При этом Wx=12 для этого интервала, а Wy =1,5 (середины интервалов).
Аналогичным образом заполнены все отсальные ячейки таблицы; если в ячейке – пусто, значит для
признака (y) нет соответствующего отклика признака (х)
В таблице обозначено nx – количество признаков (x) в соответствующей строке, ny - количество
признаков (y) в соответствующем столбце. У Вас у каждого будет свой вариант, соответствующий
номеру в Журнале преподавателя, в котором уже будет готовая корреляционная решетка. Ваша задача
– разобраться, что и где в ней обозначено и дальше по соответствующему алгоритму провести
корреляционный анализ данных.

3. Исходные данные – Корреляционная решетка

На точки в ячейках не обращайте внимания – их ставят для удобства при подсчете
соответствующих пар признаков

4. 1. Построение графического изображения

Первое представление о наличии или отсутствии корреляционной связи, ее форме и
направленности дает графическое изображение данных наблюдения. Если выборка малая, то в систему
координат зависимости Y от X наносятся все исходные данные. При большой выборке график строится
по средним значениям классов Wх - и условно средним значениям – уср . В рассматриваемом примере,
судя по графику, зависимость между продолжительностью ТО и пробегом ТЕ предварительно можно
считать линейной.
уср
Корреляционная зависимость
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
5
10
15
Wх
20
25
30
35
40

5. 2. Вычисление показателей тесноты связи и их оценка при большой выборке

2.1. Вспомогательные расчеты
Условное начало А в
каждом варианте
выделено серым цветом
(чтобы наши с вами
расчеты совпадали и
была возможность
проконтролировать
правильность расчетов)

6.

7.

2.2. Вычисление коэффициента корреляции и его оценка
Если по графику видно, что связь между признаками прямолинейная, сразу приступают к
вычислению ее меры – коэффициента корреляции
где выражение, стоящее в числителе - ∑(nxαxαy) представляет собой сумму произведений отклонений
отдельных пар наблюдений по признаку X и Y от их средних значений. Для вычисления этого выражения
составляется вспомогательная таблица (смотри следующий слайд)

8. Таким образом, коэффициент корреляции равен

=
Таким образом, коэффициент корреляции равен
=

9. В нашем примере r = +0,834 – степень тесноты корреляционных связей высокая

10.

2.3. Вычисление ошибки коэффициента корреляции (mr) и показателя достоверности (tr)

11.

Показатель tr=31 оценивается по критерию Стьюдента (Приложение 1), согласно вычисленному числу
степеней свободы f=N–1. Определяем стандартное значение критерия Стьюдента (tst) для f=124 и уровня
значимости α=0,05 (уровень значимости задан в исходных данных у каждого свой)
t0.05 1,98 2,0.
Поскольку расчетное значение показателя
достоверности больше табличного ( tr =31 ˃ t0.05 = 2 )
делается заключение о том, что коэффициент
корреляции достоверен.
Таблица значений критерия Стьюдента
(Приложение 1) размещена в Moodle в курсе
Основы инженерного эксперимента

12. 2.4. Доверительный интервал для коэффициента корреляции (rген)

Следовательно, доверительные границы коэффициента корреляции в
генеральной совокупности при вероятности 0,95 будут находиться в
пределах от 0,776 до 0,884.

13. 3. Вычисление корреляционного отношения и его оценка

Если по графику установлено, что связь между признаками заведомо нелинейная, то сразу
приступают к вычислению ее меры – корреляционного отношения (η)
где
-полное среднеквадратическое отклонение по признаку y;
-среднеквадратическое отклонение условно средних значений (Yср) от Мy по
частотам признака Х
Корреляционное отношение показывает, какую часть общей дисперсии результативного признака составляет
дисперсия групповых средних этого признака. Оно характеризует тесноту корреляционной связи, в основном
нелинейной. По величине корреляционное отношение может быть только положительным (от 0 до +1), а по
сравнению с коэффициентом корреляции (r) – больше или равно ему (η ≥ r)

14. 3.1. Вспомогательные вычисления

Расчеты начинают с вычисления y x . При этом предварительно
составляется вспомогательная таблица для вычисления (nx y2 )

15. 3.2. Вычисление среднеквадратическое отклонение условно средних значений (Yср) от Мy по частотам признака Х

50,8508
y x
0,4068 0,638.
125

16. 3.2. Вычисление величины корреляционного отношения

17. 3.3. Вычисление ошибки величины корреляционного отношения

1
1 0,84
m
0,0265.
N 1
125 1
2
2

18. 3.4. Вычисление ошибки показателя достоверности корреляционного отношения

0,84
t
31,7;
m 0,0265
t0.05 1,98 2,0.
Табличная величина уже определялась на 11 слайде
Так как табличное значение значительно меньше расчетного, корреляционное
отношение достоверно
t0,05 1,96 2 t 31, 7

19. 3.5. Вычисление доверительного интервала для генеральной совокупности

ген t0.05 m 0,84 2 0,0265 0,787
0,84 0,893.

20. 4. Вычисление меры линейности

Как указывалось выше если по графику выявлен нечеткий
характер корреляционной связи (линейная или нелинейная), то
уточнение характера связи производится математически. С этой
целью по величинам r и η определяют меру линейности (z), ее
основную ошибку mz и так называемый показатель Блекмана t z –
показатель достоверности меры линейности.

21. 4.1. Мера линейности

z r 0,84 0,834 0,01
2
2
2
2

22. 4.2. Ошибка меры линейности

Z
0,01
m
0,0089
N
125

23. 4.3. Вычисление показателя Блэкмена

z
0, 0100
t
m 0, 0089
t0.05 1,98 2,0.
Табличная величина уже определялась на 11 слайде
Так как tZ<t0,05 , следовательно, связь между признаками нужно
признать линейной. Данный признак подтверждает и
предварительно выявленный по графику линейный характер
связи.

24. 5. Линейное корреляционное отношение

После установления характера и тесноты корреляционной связи
необходимо получить математическую модель исследуемой зависимости
в виде уравнения связи. Если связь нелинейная, то необходимо
подобрать функцию, график которой будет максимально приближен ко
всем исходным точкам, а если линейная – то получить конкретное
уравнение прямой.
В данной работе, независимо от того какой характер связи получится
фактически, будем рассчитывать уравнение прямой, условно принимая,
что связь между исследуемыми признаками линейная.
Предполагается, что у Вас у всех взаимосвязь – линейная,
независимо от результатов полученных в пункте 4.

25.

26.

27. Графическое изображение корреляционной связи

Yср, Yx
5
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
Wx
0
0
5
10
15
20
Yx (вероятные)
25
30
35
40
45
Yср (исходные)
График строится по данным рассчитанным в таблице на предыдущем слайде

28.

Спасибо за ВНИМАНИЕ!!! Успехов при
проведении корреляционного анализа.
Результаты представлять в электронном
варианте формата .doc. Если возникнут вопросы
пишите в форум с указанием конкретного
слайда, по которому необходимы пояснения.