Л1-1-13.02.25 Корреляция (1)

1.

Теория вероятностей
и математическая
статистика

2.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Линейная корреляция
Ю.В. Шапарь

3.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
M X Y M X M Y , если X, Y – независимы;
K XY COV ( X , Y ) M X Y M X M Y ;
K XY 0, если X, Y – зависимы;
K XY ковариация (корреляционный момент) X и Y.
Ю.В. Шапарь

4.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Утверждение
Ковариация
равна
математическому
ожиданию
произведения центрированных случайных величин:
K XY M X mX Y mY .
Доказательство
M X mX Y mY
M X Y X mY mX Y mX mY
M X Y mY M X mX M Y mX mY
M X Y M X M Y K XY .

5.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Вычислительные формулы
K XY xi mX y j mY pij , если
n
m
i 1
j 1
(X, Y) – дискретная двумерная СВ.
K XY x mX y mY f x, y dxdy , если
(X, Y) – непрерывная двумерная СВ.

6.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Теорема 1 (Свойства ковариации)
1) Ковариация симметрична, т.е.
2)
K XY KYX ;
K XX D X ;
2
K XX M X mX X mX M X mX D X
3) Если X,Y – независимы, то
X,Y – независимы
K XY 0;
СВ X mX и Y mY
независимы;
M
X mX Y mY
M X mX M Y mY
M X mX M Y mY 0

7.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Свойства
4) D X Y
D X D Y 2K XY ;
D X Y M X Y M X Y
2
2
M X mX 2 M X mX Y mY M Y mY 2
D [ X ] D [Y ] 2 K XY ;
D X Y D[ X ] D[ Y ] 2M [( X mX )( Y M [ Y ])]
D X D Y 2K XY .

8.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
5)
COV (CX , Y ) C COV ( X , Y ) COV ( X , CY );
6)
COV ( X C , Y ) COV ( X , Y ) COV ( X C , Y C );
7)
K XY X Y
Применяем свойство 4) к случайным величинам
X mX
X
и
Y mY
Y
:
Ю.В. Шапарь

9.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
X mX
Y mY D X mX D Y mY
D
Y
X
Y
X
X m X
X mX Y mY
Y mY
2 M
M
M
X
X Y
Y
X mX Y mY
K XY
1 1 2M
2 1 0
Y
X
Y
X
X Y K XY X Y .
Таким образом,
K XY X Y .

10.

Ковариация содержит информацию о зависимости
между величинами.
Значение K XY изменяется при
изменении единиц измерения
X и Y.
о тому для характеристики между
величинами удобно рассматриват
безразмерную величину.

11.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Определение
называется
Ю.В. Шапарь
Коэффициентом корреляции СВ X и Y
rXY
K XY
X Y
COV ( X , Y )
.
D[ X ] D[Y ]
Очевидно, что
rXY COV ( Z1 , Z 2 ), где
Z1
X mX
X
;
Z2
Y mY
Y
стандартные СВ.

12.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Теорема 2
1)
Ю.В. Шапарь
(свойства коэффициента корреляции)
rXY 1;
rXY
X Y
1
X Y
X Y
K XY
2) X, Y - независимы
rXY 0;
Y aX b ; a 0 , то
1 , причём rXY 1 при a 0 и rXY 1 при a 0;
3) Если X, Y связаны линейной зависимост ю, т.е.
rXY
b
a
COV
X
,
X
COV X , Y COV X , aX b
a
a COV X , X a D[ X ];

13.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
D[Y ] D[aX b] a 2 D[ X ];
rXY
COV ( X , Y )
D X D Y
a D X
D X a
a
1, a 0
.
a
1, a < 0
D X

14.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
4) Если
уст
Ю.В. Шапарь
rXY 1,то X и Y связаны линейной функционал ной зависимост ю;
rXY 1. Тогда из равенства
X mX Y mY
K XY
D
2 1
Y
X Y
X
(свойство 7, Теорема 1)
получаем
X mX Y mY
D
0
Y
X

15.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
X mX
X
C M C
Y mY
Y
Ю.В. Шапарь
C;
X mX
X mX
Y mY
M
M
Y
X
X
Y mY
M
0 0 0 C 0
Y
X mX
X
Y mY
Y
Y
Y
( X m X ) mY .
X

16.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
ри
rXY 1 получаем
Y
Y
( X mX ) mY
X
ВЫВОД: при
rXY 1
X и Y связаны линейной
функциональной зависимостью.
Ю.В. Шапарь

17.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
rXY характеризует степен тесноты линейной зависимости
между СВ.
rXY 0 положител ная корреляция:
при возрастании одной СВ (X) другая (Y) имеет тенденцию в среднем
возрастат . В отдел ных опытах бол шему X может соответствоват
мен шее Y.
отрицател ная корреляция
ри возрастании одной СВ (X) другая (Y) имеет тенденцию в среднем
убыват .

18. Смысл знака коэффициента корреляции

Смысл знака ко ффициента корреляции

19. Примеры корреляционных полей

римеры корреляционных полей

20.

21. Ковариационная (корреляционная) матрица

Величины D[ X ] X2 , D[Y ] Y2 и K XY характеризуют
Разброс положений случайной точки на плоскости.
Эти числовые характеристики принято
записыват в виде ковариационной матрицы
системы случайных величин X , Y :

22.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Рассмотрим зависимые X и Y.
редставим Y как функцию X в виде
Y g ( X ) X , где
, параметры, подлежащие определению.
Функция
Y g ( X ) среднеквадратическая регрессия Y
на X.

23.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Теорема 3 (уравнение среднеквадратической регрессии )
Y mY rXY
Y
X mX
X
X mX rXY
X
Y mY
Y
уравнение
регрессии
Y на X;
уравнение
регрессии
X на Y.

24.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Доказательство
Рассмотрим вспомогательную функцию:
2
F , M Y X
Цель:
F , min .
F , M Y X mY mY mX mX 2
2
M Y mY mY X mX mX

25.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
2
M Y mY X mX mY mX
[возводим сумму в квадрат; при этом
M X mX M Y mY 0;
M X mX Y mY K XY rXY X Y ]

26.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
2
2
2
2
M Y mY X mX mY mX
2 Y mY mY mX 2(Y mY ) ( X mX )
2 X mX mY mX
2
2
2
2
m
m
M Y mY M X mX Y
X
2 M Y mY mY mX 2 M Y mY X mX
2 M X mX mX mX

27.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
D Y 2 D X mY mX
2
2 M Y mY X mX Y2 2 X2
(mY mX ) 2 rXY X Y .
2
Ю.В. Шапарь

28.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Исследуем F ,
Ю.В. Шапарь
на кстремум:
F
2 mY mX 0
F 2 X2 2 mY mX mX 2rXY X Y 0.
Y
;
Решая систему, получаем: rXY
X
Y
mY rXY
mX .
X
Легко проверит , что при найденных
имеет минимум.
и функция
одставляя в уравнение
найденные параметры, получаем требуемое.
F ,
Y X