Ch5(1)_ru

1. Инструкция по использованию шаблона презентации

Цифровая обработка сигналов непрерывного
времени
Цифровая обработка сигнала непрерывного времени включает:
(1) Преобразование сигнала непрерывного времени в сигнал дискретного времени.
(2) Обработку сигнала дискретного времени.
(3) Обратное преобразование обработанного сигнала в сигнал непрерывного времени.
miet.ru

2. Инструкция по использованию шаблона презентации

Цифровая обработка непрерывных сигналов
Преобразование непрерывного сигнала в цифровую форму выполняется аналого-цифровым
преобразователем (АЦП)
Обратная операция — преобразование цифрового сигнала в непрерывный — выполняется цифроаналоговым преобразователем (ЦАП)
miet.ru

3. Инструкция по использованию шаблона презентации

{
"title": "Цифровая обработка сигналов непрерывного времени",
"bullets": ["Для аналого-цифрового преобразования
miet.ru

4. Инструкция по использованию шаблона презентации

Аналоговые фильтры в ЦОС непрерывных
сигналов
Для предотвращения алиасинга перед схемой сэмплирования с хранением (S/H) применяется аналоговый
предотсекающий фильтр
Для сглаживания ступенчатого выходного сигнала ЦАП используется аналоговый фильтр реконструкции
miet.ru

5.

Цифровая обработка сигналов непрерывного
времени
Полная блок-схема: фильтр предварительной фильтрации и фильтр восстановления — аналоговые фильтры
нижних частот.
Сначала рассмотрим теорию проектирования таких аналоговых фильтров.
Наиболее широко используемый метод проектирования БИХ-фильтров
основан на преобразовании прототипа аналогового фильтра нижних частот.
miet.ru

6.

{
"title": "Дискретизация сигналов непрерывного времени",
"bullets": ["Дискретно-временные сигналы во многих приложениях получают дискретизацией сигналов
непрерывного времени.", "Одинаковые дискретно-временные сигналы могут получиться при дискретизации
нескольких различных функций непрерыв
miet.ru

7.

Дискретизация сигналов непрерывного
времени
Существует бесконечное множество сигналов непрерывного времени, при дискретизации дающих
одинаковый дискретно-временной сигнал.
При определённых условиях можно связать единственный сигнал непрерывного времени с заданным
дискретно-временным сигналом.
miet.ru

8.

Дискретизация сигналов непрерывного
времени
Если эти условия выполнены, то исходный сигнал непрерывного времени можно восстановить по его
отсчётам
Далее мы разовьём это соответствие и сопутствующие условия
miet.ru

9.

Слайд 9
[Ошибка перевода: empty response: {"id":"20842621d1074551a9f20a4514f08dcc","choices":
[{"finish_reason":"length","index":0,"message":
{"content":"","role":"assistant","tool_calls":null,"reasoning_content":"First, the slide is from a Mit]
miet.ru

10.

Слайд 10
[Ошибка перевода: empty response: {"id":"1aa82c3e623f499a9f55d47df90fbbc4","choices":
[{"finish_reason":"length","index":0,"message":
{"content":"","role":"assistant","tool_calls":null,"reasoning_content":"First, the slide is titled \"E]
miet.ru

11.

Слайд 11
[Ошибка перевода: empty response: {"id":"d90141509e46465b8aadc8a5e639b86e","choices":
[{"finish_reason":"length","index":0,"message":
{"content":"","role":"assistant","tool_calls":null,"reasoning_content":"First, I need to translate the]
miet.ru

12.

Эффект дискретизации в
частотной области
p(t) — последовательность идеальных импульсов с
периодом T:
Результат перемножения — последовательность
импульсов:
gₚ(t) = p(t) g(t) = ∑(n=-∞…∞) δ(t - nT) g(nT)
Такая операция дискретизации в частотной области
Приводит к периодическому спектру.
Период спектра определяется частотой
дискретизации.
miet.ru

13.

Влияние дискретизации
в частотной области
Рассмотрим сигнал gₚ(t), представляющий собой
последовательность равноотстоящих импульсов.
Импульс в момент t = nT весится значением
выборки gₐ(nT).
Это непрерывно-временной сигнал,
аппроксимирующий исходный сигнал gₐ(t).
miet.ru

14.

Влияние дискретизации в частотной области
Существует две формы дискретно-временного преобразования Фурье
Первая форма — взвешенная сумма ДВПФ сигналов g(t) сдвигов t = nT
Вторая форма получается через разложение p(t) в ряд Фурье
Импульсный ряд p(t) = Σ δ(t − nT) разлагается в ряд Фурье
Коэффициенты ряда: aₙ = (2π/T) δ(Ω − nΩ₀), Ω₀ = 2π/T
miet.ru

15.

Влияние дискретизации в частотной области
Импульсный ряд выражается как:
gₚ(t) = gₐ(t) · ∑(k=-∞…∞) e^{jkΩ_T t}
ГПСВ (КПСВ) ряда — разложение в ряд Фурье
По свойству сдвига частоты ГПСВ от gₚ(t):
Gₚ(Ω) = (1)/(T) ∑(k=-∞…∞) Gₐ(Ω - kΩ_T)
Спектр копируется с периодом Ω_T = 2π / T
miet.ru

16.

Влияние дискретизации в частотной области
Альтернативная форма НВПФ для gₚ(t) задаётся формулой
Gₚ(jΩ) = (1/T) Σₖ Gₐ(j(Ω − kΩₛ))
Gₚ(jΩ) является периодической функцией Ω
Период равен Ωₛ = 2π/T
Представляет сумму сдвинутых и масштабированных
копий спектра Gₐ(jΩ), сдвинутых на kΩₛ
и масштабированных на коэффициент (1/T)
miet.ru

17.

Влияние дискретизации в частотной области
Член справа в предыдущем уравнении для k = 0: базовая полоса G ₚ(jΩ); остальные члены — частотносдвинутые компоненты Gₚ(jΩ).
Частотный диапазон -Ω_T ≤ Ω ≤ Ω_T: базовая полоса или полоса Найквиста.
miet.ru

18.

Влияние дискретизации
в частотной области
Пусть gₐ(t) — ограниченный по полосе сигнал.
Его преобразование Фурье: Gₐ(jΩ).
Спектр импульсного процесса p(t)
при периоде дискретизации T: Ω_T = 2π/T.
Спектр p(t) обозначен как P(jΩ).
miet.ru

19.

Влияние дискретизации
в частотной области
Показаны два возможных спектра Gₚ(jΩ)
miet.ru

20.

Влияние дискретизации в частотной области
Если Ωm > π/T, спектральные копии Gₐ(jΩ) не перекрываются
Если Ωm < π/T, спектры сдвинутых копий Gₐ(jΩ) перекрываются
Перекрытие спектров приводит к наложению (наложение спектров)
miet.ru

21.

Слайд 21
[Ошибка перевода: empty response:
{"id":"f6cf1bb087084b3ab001adf1154f85e0","choices"
:[{"finish_reason":"length","index":0,"message":
{"content":"","role":"assistant","tool_calls":null,"reaso
ning_content":"First, the user is asking me t]
miet.ru

22.

Влияние дискретизации
в частотной области
Спектры фильтра и соответствующих сигналов
показаны на рисунке ниже
miet.ru

23.

Слайд 23
[Ошибка перевода: empty response: {"id":"41c732cc267e4905b771855135a8747e","choices":
[{"finish_reason":"length","index":0,"message":
{"content":"","role":"assistant","tool_calls":null,"reasoning_content":"First, I need to translate the]
miet.ru

24.

Теорема о дискретизации
Пусть gₐ(t) — ограниченный по спектру сигнал
с ДПНП Гₐ(jΩ) при |Ω| > Ωₘ
Тогда gₐ(t) однозначно определяется
своими отсчётами gₐ(nT), −∞ ≤ n ≤ ∞
при условии Ωₛ ≥ 2Ωₘ
где Ωₛ = 2π/T — частота дискретизации
Ωₘ — максимальная частота сигнала
miet.ru

25.

Влияние дискретизации в частотной области
Условие Ωₘ ≤ Ω_T/2 часто называют условием Найквиста.
Частоту Ω_T/2 обычно называют частотой наложения.
miet.ru

26.

Слайд 26
[Ошибка перевода: empty response: {"id":"193240cd779442d79ec5030ae4ff2176","choices":
[{"finish_reason":"length","index":0,"message":
{"content":"","role":"assistant","tool_calls":null,"reasoning_content":"First, the slide is about \"Ef]
miet.ru

27.

Влияние дискретизации в частотной области
Наибольшая частота Ωₘ, содержащаяся в gₐ(t), называется частотой Найквиста
Она определяет минимальную частоту дискретизации для полного восстановления gₐ(t) по отсчётам
Частота Ω = 2Ωₘ называется частотой Найквиста
miet.ru

28.

Влияние дискретизации в частотной области
Чрезмерная дискретизация
Частота дискретизации выше частоты Найквиста
Недостаточная дискретизация
Частота дискретизации ниже частоты Найквиста
Критическая дискретизация
Частота дискретизации равна частоте Найквиста
Замечание: чистая синусоида может не восстанавливаться из её критически дискретизированной версии
miet.ru

29.

Влияние дискретизации в частотной области
В цифровой телефонии допустимая полоса частот сигнала 3.4 кГц для телефонных разговоров
Используется частота дискретизации 8 кГц, превышающая удвоенную полосу частот сигнала
miet.ru

30.

Эффект дискретизации в частотной области
В аналоговой обработке музыкальных сигналов высокого качества полоса пропускания 20 кГц определена
для сохранения верности.
Поэтому в компакт-дисках (CD) используется частота дискретизации 44.1 кГц, что немного выше удвоенной
полосы пропускания.
miet.ru

31.

ии в частотной области
miet.ru

32.

Влияние дискретизации
в частотной области
Эти три преобразования изображены ниже
miet.ru

33.

Влияние дискретизации в частотной области
Непрерывные сигналы дискретизированы с периодом T = 0.1 с
Частота дискретизации Ωs = 2π/T = 20π рад/с
Дискретизация порождает импульсные последовательности: gₚ1(t), gₚ2(t), gₚ3(t)
Соответствующие ПФНВ (CTFT) выражаются формулой:
Gₚ(jΩ) = (1/T) Σ_{l=−∞}^{∞} G(j(Ω − l·Ωs))
Для |Ω| ≤ 10π (лента ±1) спектры не перекрываются
miet.ru

34.

Влияние дискретизации
в частотной области
Непрерывно-временные преобразования Фурье
(НВПФ)
Приведены графики трёх НВПФ
miet.ru

35.

Влияние дискретизации в частотной области
Пунктирные линии — амплитудная характеристика идеального ФНЧ
Частота среза Ωc и коэффициент усиления 1/T
Параметр T = 0,1
КПФ выхода фильтра нижних частот также показаны
При Ω = 10 частота дискретизации удовлетворяет условию Найквиста
Алиасинг в данном случае отсутствует
miet.ru

36.

Влияние дискретизации в частотной области
Кроме того, восстановленный выходной сигнал точно соответствует исходному сигналу непрерывного
времени.
В двух других случаях нарушается условие Найквиста, возникает алиасинг; все выходы фильтров: cos(6 π t).
miet.ru

37.

Влияние семплирования в частотной области
Замечание: импульс, появляющийся при Ω = 6π в положительной полосе пропускания фильтра, возникает в
результате наложения импульса из G₂(jΩ) при Ω = 14π
Аналогично импульс при Ω = 6π в положительной полосе пропускания фильтра — результат наложения
импульса из G₃(jΩ) при Ω = 26π
miet.ru

38.

Влияние дискретизации в частотной области
Вывод связи между ДВПФ последовательности g[n] и преобразованием Фурье g ₚ(t)
Сравниваем G(jω) с Gₐ(jΩ), используя соотношение дискретизации
gₐ(nT) = g[n] при −∞ < n < ∞
ДВПФ: G(e^{jω}) = Σ g[n] e^{-jωn}, суммирование по n от −∞ до ∞
Непрерывное преобразование: Gₐ(jΩ) = Σ gₐ(nT) e^{-jΩnT}
miet.ru

39.

Влияние дискретизации в частотной области
Наблюдение: G(jΩ) = Tₚ · Gₚ(jΩ)
Эквивалентно: G(e^{jω}) = G(jΩ) при Ω = ω / T
ДПФ отсчётов связано с ФПФ исходного сигнала:
G(jΩ) = Σ_{k=-∞}^{∞} Gₐ(jΩ − jk·2π / T)
Спектр отсамплированного сигнала — периодическая
сумма сдвинутых копий спектра исходного сигнала
Интервал повторения по частоте равен 2π / T
miet.ru

40.

Влияние дискретизации в частотной области
Результат: спектр отсчётов связан со спектром исходного сигнала
G(e^{jω}) = (1)/(T) ∑(k=-∞…∞) Gₐ(j((ω)/(T) - (2π k)/(T)))
Спектр дискретного сигнала — периодическая копия спектра аналогового
Период повторения в частотной области равен 2π
Спектральные копии сдвинуты на 2π k / T
Коэцициент 1/T — масштабный множитель при дискретизации
miet.ru

41.

Влияние дискретизации в частотной области
Связь с предыдущего слайда может быть переписана
В виде: G(e^{jω}) = (1/T) Σ Gₐ(j(ω−2πk)/T)
Отсюда Gₚ(jΩ) = Gₐ(jΩ)
Спектр G(e^{jω}) получается из Gₚ(jΩ)
Подстановкой Ω = ω/T
Спектр дискретного сигнала — периодическая
копия спектра непрерывного с растяжением по ω
miet.ru

42.

Слайд 42
[Ошибка перевода: empty response: {"id":"ee0f0ba6143844469f4fc46692394e4e","choices":
[{"finish_reason":"length","index":0,"message":
{"content":"","role":"assistant","tool_calls":null,"reasoning_content":"First, the slide is from a Mit]
miet.ru

43.

Слайд 43
[Ошибка перевода: empty response: {"id":"8684b6d9522d439093a61d2b123d4db3","choices":
[{"finish_reason":"length","index":0,"message":
{"content":"","role":"assistant","tool_calls":null,"reasoning_content":"First, the user has provided a]
miet.ru

44.

Слайд 44
[Ошибка перевода: empty response: {"id":"0eef8adbd04b4e5fa211785ad10c047a","choices":
[{"finish_reason":"length","index":0,"message":
{"content":"","role":"assistant","tool_calls":null,"reasoning_content":"First, I need to translate thi]
miet.ru

45.

Восстановление аналогового сигнала
Выход идеального фильтра нижних частот:
â_g(t) = h(t) * g(t) = Σ g[nT] h(t − nT)
Подставляя импульсную характеристику:
h(t) = (Ω_c / π) sin(Ω_c t) / (Ω_c t), Ω_c = π / T
Получаем формулу восстановления (интерполяция синком):
â_g(t) = Σ g[nT] sin[π(t − nT) / T] / [π(t − nT) / T]
miet.ru

46.

Восстановление
аналогового сигнала
Процесс идеальной полосограниченной
интерполяции
иллюстрируется на следующей схеме
miet.ru

47.

Восстановление аналогового сигнала
Пусть выполняются условия: h(t) = (2/π) sin(Ωt)/(Ωt)
при Ωc = Ω/2, h(rT) = 0 при r ≠ 0 и h(0) = 1
Тогда восстановленный сигнал ĝa(t) = Σ g(nT) [(π/T)(t−nT)]/[(π/T)(t−nT)]
Из формулы свёртки наблюдаем: ĝa(rT) = g(rT)
Это справедливо для всех целых r ∈ (−∞, ∞)
Реконструкция по теореме Котельникова — идеальная при Ωc = Ω/2
miet.ru

48.

{
"title": "Восстановление аналогового сигнала",
"bullets": [
"Формула gₐ(t) = ∑ g[rT] δ(t - rT) верна всегда, независимо от теоремы о натяжении.",
"Но gₐ(rT) = g[rT]
miet.ru

49.

Следствия процесса
дискретизации
Рассмотрим три непрерывно-временных сигнала:
g₁(t) = cos(6πt), g₂(t) = cos(14πt), g₃(t) = cos(26πt)
График КПФ [gp(t)] дискретизованной версии g₁(t)
приведён ниже
gp(t) — дискретизованный сигнал, полученный из
g₁(t)
Gp(jΩ) — непрерывно-временное преобразование
Фурье сигнала gp(t)
miet.ru

50.

Слайд 50
[Ошибка перевода: empty response: {"id":"b67ea4960df8483b8d8fae25b64b9696","choices":
[{"finish_reason":"length","index":0,"message":
{"content":"","role":"assistant","tool_calls":null,"reasoning_content":"First, the slide has a title: ]
miet.ru

51.

Слайд 51
[Ошибка перевода: empty response: {"id":"d3afd3ebbfa44ce78dc90c87d0ca654f","choices":
[{"finish_reason":"length","index":0,"message":
{"content":"","role":"assistant","tool_calls":null,"reasoning_content":"First, the user provides a raw]
miet.ru

52.

Следствия процесса дискретизации
Аналогично можно восстановить запутанную
базовую составляющую cos(6πt) из отсчётов
g₂(t) или g₃(t), пропустив их через
идеальный фильтр нижних частот
с частотной характеристикой:
miet.ru

53.

Следствия процесса дискретизации
Алиасинговых искажений нет, если исходный сигнал не содержит компоненту cos(6πt)
Из спектра gₚ(t) можно восстановить любую частотно-сдвинутую версию
В том числе исходный сигнал g(t) — с помощью подобранных фильтров
Восстановление g₂(t) и g₃(t) осуществляется аналогичным образом
Выбор соответствующего фильтра определяет, какая версия извлекается
Результат зависит от того, какая копия спектра выделяется фильтром
miet.ru

54.

Дискретизация полосовых сигналов
Ранее рассмотренные условия однозначного
представления сигнала непрерывного времени
дискретно-временным сигналом при
равномерном квантовании предполагали,
что сигнал ограничен по спектру от
нуля до некоторой частоты Ωm
Такой сигнал называется сигналом нижних частот
miet.ru

55.

Слайд 55
[Ошибка перевода: empty response: {"id":"38dc6a77785e4b64804bd7f8e887addc","choices":
[{"finish_reason":"length","index":0,"message":
{"content":"","role":"assistant","tool_calls":null,"reasoning_content":"First, the slide is about \"Sa]
miet.ru

56.

Дискретизация полосовых сигналов
Спектр дискретно-временного сигнала, полученного в результате дискретизации, содержит спектральные
разрывы без компонент сигнала
Это обусловлено полосовой природой спектра исходного сигнала непрерывного времени
При большой верхней частоте Ω_H частота дискретизации также должна быть очень большой
В ряде практических задач такая высокая частота дискретизации недостижима
miet.ru

57.

Дискретизация полосовых сигналов
Более практичный подход — использование низкочастотной дискретизации (undersampling)
Пусть ΔΩ = Ω_H − Ω_L определяет полосу полосового сигнала
Предположим, что верхняя частота — целое кратное полосе: Ω_H = M·ΔΩ
miet.ru

58.

Дискретизация полосовых сигналов
Частоту дискретизации Ωs выбирают условию Ωs < ΩT (Найквист), где ΩT = 2ΔΩ.
Подставим выражение для Ωs в формулу спектра: Ga(jΩ) = (1/T) Σk Gp(j(Ω − kΩs)).
miet.ru

59.

Дискретизация полосовых сигналов
Спектр дискретизованного полосового сигнала: сумма сдвинутых копий спектра исходного сигнала Gₐ(jΩ).
Шаг сдвига кратен удвоенной полосе ∆Ω, амплитуда масштабируется на 1/T.
Для каждого значения k обеспечивается отсутствие наложения (без алиасинга) между всеми сдвинутыми
копиями спектра.
miet.ru

60.

Слайд 60
[Ошибка перевода: empty response: {"id":"9903be9aa18e4393af887c96461ea217","choices":
[{"finish_reason":"length","index":0,"message":
{"content":"","role":"assistant","tool_calls":null,"reasoning_content":"First, the user provided a raw]
miet.ru

61.

Слайд 61
[Ошибка перевода: empty response: {"id":"1a2e189f54fd452eb7ae4f9e08911e7c","choices":
[{"finish_reason":"length","index":0,"message":
{"content":"","role":"assistant","tool_calls":null,"reasoning_content":"First, the slide is from Mitra]
miet.ru