Цифровая обработка сигналов. Дискретизация аналогового сигнала

1.

Омский государственный технический университет
Кафедра «Радиотехнические устройства и системы диагностики»
Титов Д.А., Одинец А.И.
Цифровая обработка сигналов
Дискретизация аналогового сигнала
Мультимедийная слайд-лекция
©ОмГТУ, 2020

2.

План лекции
• Дискретизация и квантование сигналов
• Дискретизация сигналов
• Дельта-функция
• Спектр дискретизированного сигнала
• Выбор частоты дискретизации
• Квантование сигналов

3.

Дискретизация и квантование
• Для того, чтобы представить аналоговый сигнал в виде
последовательности чисел, над ним необходимо
проделать две операции:
• – представить сигнал последовательностью выборок,
взятых через некоторый интервал времени T, т.е.
дискретизовать сигнал с частотой дискретизации
fд≡fs=1/T, fs [Гц];
• – преобразовать последовательность выборок в
последовательность чисел, т. е. поставить в соответствие
каждой выборке определенное двоичное число конечной
разрядности – выполнить квантование сигнала по уровню
(будем рассматривать только двоичную арифметику).

4.

Дискретизация сигнала
• Дискретизацию
сигнала можно
рассматривать как
его перемножение с
последовательностью
коротких
(стробирующих)
импульсов.

5.

Дельта-функция
• Вид отдельного стробирующего импульса s(t)
представлен на рисунке.
• Если потребовать, чтобы площадь импульса s(t)
всегда оставалась равной единице, то при стремлении
ширины импульса к нулю получим одно из
определений дельта-функции Дирака (t):

6.

Дельта-функция
• Одним из свойств дельта-функции является то, что
интеграл от произведения любой (гладкой) функции
x(t) на (t-t0) равен значению исходной функции в
момент времени t0 (так называемое фильтрующее
свойство дельта-функции) :
x(t ) (t t )dt x(t )
0
0

7.

Дискретизированный сигнал
• Определим дискретизованный сигнал uT(t) как
uT (t ) u (t ) (t nT )
n
• где u(t) – исходный сигнал;
(t nT ) - последовательность дельта-
n
функций с периодом повторения T = 1/fs .

8.

Спектр дискретизированного сигнала
• Спектр UT( ) дискретизованного сигнала uT(t):
U T ( ) uT (t ) e j t dt
• После преобразований получим:
1
U T ( ) U ( n )
T n

9.

Спектр дискретизированного сигнала
• Заменив круговые частоты и = 2 /T на линейные
f и fs = 1/T, получим:
1
U T ( f ) U ( f nf s )
T n
• Вывод: спектр дискретного сигнала равен бесконечной
сумме копий спектра исходного сигнала, сдвинутых по
частоте относительно исходного на величину n .

10.

Выбор частоты дискретизации
• Модуль спектра исходного сигнала показан полужирными
линиями (основной спектр в области положительных
частот – сплошной линией, а зеркальный спектр в
области отрицательных частот – штриховой линией).
• Частота дискретизации больше удвоенной ширины
спектра сигнала.

11.

Выбор частоты дискретизации
• Частота дискретизации меньше удвоенной ширины
спектра сигнала.
• Вывод: для вещественного (не комплексного) сигнала,
имеющего двустороннее преобразование Фурье (спектр),
частота дискретизации не может быть выбрана менее
удвоенной ширины спектра сигнала во избежание
появления так называемых помех перекрытия спектров.

12.

Выбор частоты дискретизации
• При выполнении условий, определяемых теоремой
Котельникова, операции дискретизации и
восстановления сигнала взаимно обратны.
• В зарубежных источниках данная теорема называется
теоремой Найквиста или теоремой отсчетов.
• Условия выбора частоты дискретизации могут
отличаться в зависимости от того, как расположен
амплитудный спектр сигнала на оси частот.

13.

Выбор частоты дискретизации
• Формулировка теоремы Котельникова:
• Сформулируем теорему Котельникова для случая, когда спектр сигнала
содержит частоту ω = 0.
• Если аналоговый сигнал xa(t) имеет ограниченный (финитный) спектр xa(jω),
при этом xa(jω) = 0 при |ω| > ωв, то такой сигнал можно однозначно
представить последовательностью выборок x(nT), n = 0, 1, 2,… при T= 2π/ωд,
где ωд = 2π∙fд ≥ 2 ωв; T – период дискретизации сигнала.
• Таким образом, если кратко, то ключевым для теоремы Котельникова
является следующее неравенство:
ωд ≥ 2ωв,
где ωд – частота дискретизации сигнала [Рад/c]; ωв – максимальная
частота в спектре сигнала [Рад/c].
(1)

14.

Выбор частоты дискретизации
• Неравенство (1) также может быть записано, если частоты измеряются в
Герцах:
fд ≥ 2fв,
где fд – частота дискретизации сигнала [Гц]; fв – максимальная частота в
спектре сигнала [Гц]. T=1/ fд.
• Чтобы определить значение частоты дискретизации
сигнала надо знать значение fв. Значение fв
определяется предварительно путем детального
анализа формы амплитудного спектра аналогового
сигнала.
• Значение fв определяется индивидуально для конкретного класса сигналов.

15.

Выбор частоты дискретизации
• Считается, что на частотах f < fв, амплитудный спектр сигнала содержит
ненулевые составляющие, а на частоте f > fв спектр сигнала содержит
только нулевые составляющие.
• Во многих случаях значение f0 выбирается условно.
• На рисунке показан случай, когда амплитудный спектр сигнала
асимптотически приближается к оси абсцисс. В данном случае значение fв
выбрано условно. Составляющие спектра f > fв не равны нулю, но
значительно подавлены по сравнению с максимумом.

16.

Выбор частоты дискретизации
• Практически за fв принимают частоту, за пределами
которой составляющие спектра достаточны малы по
сравнению с его основными составляющими
(например, подавлены на 80 дБ).

17.

Выбор частоты дискретизации
• Аналоговый сигнал xa(t) может быть восстановлен по
своим дискретным отсчетам x(nT) с помощью
интерполяционных процедур (с использованием
идеального интерполирующего фильтра).
• Для сокращения формул нередко применяют
упрощенное обозначение отсчетов сигнала. Поскольку
период дискретизации сигнала часто остается
постоянным, его исключают из записи:
x(nT)≡x(n)≡xn

18.

Выбор частоты дискретизации
• Во многих практических случаях можно допускать
определенное перекрытие спектров, если при
дальнейшей обработке сигнала помехи перекрытия будут
отфильтрованы цифровым фильтром.
• Фильтрация помех перекрытия цифровым фильтром.

19.

Выбор частоты дискретизации
• АЧХ цифрового фильтра показана в полосе частот
от fs/2 до fs/2.
• Частотные характеристики дискретных цепей, так же как
и спектры дискретных сигналов, периодичны в частотной
области с частотой дискретизации fs.
• Поэтому их характеристики и спектры обычно
рассматривают лишь на одном периоде по частоте: либо
от 0 до fs, либо чаще от fs/2 до fs/2.

20.

Квантование сигналов
• В общем случае аналоговый сигнал xa(t) дискретизируется в
отсчетные моменты времени, кратные шагу дискретизации T.
Результатом дискретизации по времени является получение
последовательности значений (чисел) xn, где n = 0, 1, 2,….
Пример дискретного сигнала показан рисунке.

21.

Квантование сигналов
• Для последующей обработки средствами вычислительной
техники, а также для хранения в устройствах памяти
дискретный сигнал должен быть квантован по уровню.
• В результате процедуры квантования по уровню формируется
цифровой сигнал xц(nT). Отличительной особенностью
квантования является замена значений дискретного сигнала
дискретной шкалой h1, h2,…, hN. При этом разность между
уровнями кратна некоторому фиксированному значению,
называемому шагом квантования сигнала Δ.
• Каждому уровню квантования дискретного сигнала ставится в
соответствие определенный код, т. е. уровни квантования
связываются с числами в выбранной системе счисления.

22.

Квантование сигналов
• Пример цифрового сигнала показан на рисунке.

23.

Квантование сигналов
• В технике, как правило, используются целые числа в двоичной
системе счисления с ограниченным количеством разрядов.
• Операция квантования по уровню неизбежно приводит к
округлению значений сигнала. Цифровой сигнал xц(nT)
отличается от дискретных выборок x(nT) на величину шума
квантования. Шум квантования по своим свойствам подобен
белому шуму.
• Однако, в большинстве случаев значения кодов xц(nT)
рассматриваются как значения дискретного сигнала x(nT). Иными
словами, считается, что уровней квантования достаточно много и
шаг квантования настолько мал, что квантованный по уровню
сигнал xц(nT) можно приближенно считать дискретным сигналом
x(nT).

24.

Квантование сигналов
• При использовании системы с фиксированной запятой и
представлении чисел в прямом коде шаг квантования сигнала
равен
Δ=(xmax – xmin)/2b,
где xmax – максимально возможное значение сигнала; xmin –
минимально возможное значение сигнала; b – количество
разрядов двоичного кода, с помощью которого представляются
отсчеты сигнала.

25.

Квантование сигналов
• Пример.
Определить значения шага квантования по уровню, если сигнал
изменяется в диапазоне от 0 до 3 В, числа кодируются с
помощью двоичного кода, код прямой, используется
представление чисел с фиксированной запятой, количество
разрядов кода равно 12.
Δ=(3 – 0)/212 В = 3/4096 В = 0,000732421875 В.

26.

Квантование сигналов
• В большинстве случаев шаг квантования по уровню Δ = const.
• В некоторых случаях шаг квантования может быть переменным.
В частности, при логарифмическом квантовании шаг
квантования пропорционален логарифму входного напряжения.
Использование логарифмического квантования позволяет
получить высокую точность передачи сигнала при ограниченном
числе уровней квантования сигнала.

27.

Контрольные вопросы
• 1. Как выполняется дискретизация сигнала?
• 2. Из каких условий выбирается частота дискретизации?
• 3. Как выполняется операция квантования?
• 4. Дайте определение дельта - функции.
• 5. Перечислите свойства дельта – функции.
• 6. Запишите выражение для дискретизированного сигнала.
• 7. Как выглядит спектр дискретного сигнала?
• 8. В каком случае появляется помеха перекрытия
спектров?
• 9. Что такое соотношение Найквиста?
• 10. Сформулируйте теорему Котельникова.

28.

Список использованных источников и
литературы
• 1. Титов Д.А., Василевский В.В., Косых А.В. Цифровая обработка
сигналов. Методические указания к лабораторным работам. –
Омск: Изд-во ОмГТУ, 2011. – 52 с.
• 2. Одинец А.И., Гребенников А.И., Миронов С.Г. Цифровая
обработка сигналов. – Омск: ИРСИД, 2003.
• 3. Одинец А.И., Науменко А.П. Цифровые устройства: АЦП и
ЦАП. – Омск: ИРСИД, 2006.
• 4. Одинец А.И. Цифровые устройства. - Омск: ОмГТУ, 2016.
• Титов Д. А. Цифровая обработка сигналов : лабораторный
практикум с элементами теории /, А. В. Косых, Д. Н. Клыпин. –
Омск : Изд-во ОмГТУ, 2013. – 116 с.