Квантовая и ядерная физика Раздел АТОМ. Системы. Тождественных частиц. Многоэлектронные атомы
ЛЕКЦИЯ 16. Неразличимость частиц. Симметрия.
Симметрия волновых функций.
Симметрия волновых функций
Симметрия волновых функций
Симметрия волновых функций
Симметрия волновых функций
Симметрия волновых функций
Симметрия волновых функций
Симметрия волновых функций
Принцип паули.
Принцип Паули
Принцип Паули
Принцип Паули
Принцип Паули
Интернет ресурс
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ ! ЖЕЛАЮ УСПЕХОВ !
216.74K
Category: physicsphysics

Неразличимость частиц. Симметрия

1. Квантовая и ядерная физика Раздел АТОМ. Системы. Тождественных частиц. Многоэлектронные атомы

Абрик Ибрагимович Валишев, к.ф. - м.н., профессор
? Марлен Еновкович Топчиян , д.ф. -м.н., профессор

2. ЛЕКЦИЯ 16. Неразличимость частиц. Симметрия.

А.И. Валишев волновых функций

3. Симметрия волновых функций.

4. Симметрия волновых функций

Рассматривается система N частиц.
mi - масса i – й частицы, i лапласиан i – й
частицы, Ui (ri ) – потенциальная энергия во
внешнем поле, Wik (rik )- потенциальная
энергия взаимодействия i – й * k – й частицы
Гамильтониан:
2
N
N
1

i U i ( ri ) Wik ( rik )
2 i ,k 1
i 1 2mi
i 1
N
Wik ( rik ) Wik ri rk
Обозначения : qi ( xi , yi , zi , i ) ri , i , i , i , i ( 1, 1)
Волновая функция задачи
( q1 , q2 ,..., qn )

5. Симметрия волновых функций

В случае N тождественных частиц:
mi =m, Ui (ri ) = U(ri ) , Wik (rik ) = W (rik )
Гамильтониан тождественных частиц:
2
N
N
1

i U (ri ) W (rik )
2 i ,k 1
i 1 2m
i 1
N
Перестановка i-й и k-й частиц не меняет
Гамильтониана.
Оператор Гамильтона симметричен
относительно перестановки частиц.
Hˆ (q1 , q2 ,..., qi ,.., qk ,...qN ) Hˆ (q1 , q2 ,..., qk ,.., qi ,...qN )

6. Симметрия волновых функций

Принцип неразличимости:
Состояние системы тождественных частиц не
меняется при перестановке пары частиц друг с
другом
Классическая интерпретация траектории.
Идентификация частиц, движущихся по
траекториям в классике.
В квантовой интерпретации наблюдается
«перекрытие» волновых пакетов. Невозможно
отождествить частицу в области
перекрытия пакетов.
Все состояния тождественных частиц,
отличающихся перестановками являются
одним состоянием

7. Симметрия волновых функций

Для пары частиц.
( q1 , q2 ) ( q2 , q1 ) ?
Перестановка q1 q2
( q2 , q1 ) ( q1 , q2 ),
1
Повторная перестановка q2 q1
( q1 , q2 ) ( q2 , q1 ), ( q2 , q1 ) 2 ( q2 , q1 )
1
Существует два класса волновых функций –
симметричная (s) относительно перестановки
аргументов и антисимметричная (a).
Свойства (s) (a) сохраняются со временем
s : s ( q1 , q2 ) s ( q2 , q1 ),
a : a ( q1 , q2 ) a ( q2 , q1 )

8. Симметрия волновых функций

Доказательство сохранения свойства (s), (a)
УШ
в дифференциалах
i d ( q1 , q2 ) Hˆ ( q1 , q2 ) ( q1 , q2 ) dt
Hˆ ( q1 , q2 ) Hˆ ( q2 , q1 )
s ( q1 , q2 ) s ( q2 , q1 ), a ( q1 , q2 ) a ( q21 , q1 )
1. i d s ( q2 , q1 ) Hˆ ( q2 , q1 ) s ( q2 , q1 ) dt
2. i d a ( q2 , q1 ) Hˆ ( q2 , q1 ) a ( q2 , q1 ) dt
Приращение ВФ симметрично, если
симметрична исходная ВФ.
Приращение ВФ антисимметрично, если
антисимметрична исходная ВФ

9. Симметрия волновых функций

Все ВФ, описывающие состояния системы N
тождественных частиц должны обладать
одинаковой симметрией:
S быть либо симметричными (s),
A либо антисимметричными (a)
относительно всех возможных N!
перестановок частиц.
В противном случае линейные комбинации
базисных ВФ не будут обладать единой
симметрией.

10. Симметрия волновых функций

Все частицы делятся на 2 класса:
1. класс (s), описываемый симметричными
ВФ – «бозоны» (статистика Бозе Эйнштейна)
2. Класс (a) – антисимметричные ВФ
«фермионы» (статистика Ферми –
Дирака)
3. Класс (s) бозоны – спин целый (s=0,1,2,…
4. Класс (a) фермионы – спин полуцелый
(s=1/2, 3/2,…

11. Принцип паули.

12. Принцип Паули

Принцип Паули.
Принцип Паули
Вероятность осуществления у двух фермионов из системы фермионов одинаковых
полных наборов квантовых чисел, соответствующих одновременно измеряемым величинам,
равна нулю!
Доказательство. Рассматривается пара
фермионов (электронов) из системы
k – полная система квантовых чисел соответствующих одновременно измеримым величинам.
k (q) – собственная функция полной системы
операторов
q – набор пространственных и спиновых
переменных

13. Принцип Паули

Пример система 2-х электронов в атоме.
Квантовые числа , переменные.
k n, l , m, ms , q r, , ,
Волновые функции
k ( q) Rnl ( r ) Ylm ( , )
ВФ двух фермионов – сумма по набору квантовых
чисел произведений одночастичных ВФ
q1 , q2
c( k , k )
1
2
k1
( q1 ) k 2 ( q2 )
k 1,k 2
1. Простая смена мест аргументов в двухчастичной
ВФ
q , q c(k , k ) ( q ) ( q )
2
1
1
2
k1
2
k2
1
k 1,k 2
2. Переобозначение индексов k1 в k2 и наоборот.
3. Использование антисимметрии ВФ
2. q2 , q1
c( k , k )
2
k 1,k 2
3. q1 , q2
1
k2
( q2 ) k 1 ( q1 )

14. Принцип Паули

Принцип Паули.
q2 , q1
c( k , k )
2
1
k2
( q2 ) k 1 ( q1 ) q1 , q2
k 1,k 2
c( k1 , k 2 ) k 2 ( q2 ) k 1 ( q1 )
k 1,k 2
c( k 2 , k1 ) c( k1 , k 2 )
k1 k 2 k c( k , k ) 0
w c
2
w( k , k ) 0
w – вероятность осуществления у пары
частиц - фермионов набора одинаковых
квантовых чисел нулевая. w = 0!

15. Принцип Паули

В системе любых тождественных частиц
неопределены состояния отдельных частиц.
Произведение одночастичных ВФ не обладает
точно определенной симметрией либо (s) либо (a)
k 1 ( q1 ) k 2 ( q2 ) s , a
Решением УШ для системы 2-х бозонов является
симметризованная ВФ
1
s ( q1 , q2 )
1 ( q1 ) 2 ( q2 ) 2 ( q1 ) 1 ( q2 ) s ( q2 , q1 )
2
Решением УШ для системы 2-х фермионов
является антисимметризованная ВФ
1
a ( q1 , q2 )
1 ( q1 ) 2 ( q2 ) 2 ( q1 ) 1 ( q2 ) a ( q2 , q1 )
2

16. Интернет ресурс

http//:edu.ci.nsu.ru
Курс лекций
Задачник
English     Русский Rules