Ферми- и Бозе- частицы. Принцип Паули

1. Кислицын А.А. Физика атома, атомного ядра и элементарных частиц

17 (0). Ферми- и Бозе- частицы.
Принцип Паули.

2. Принцип тождественности одинаковых частиц.

Элементарные частицы, в частности, электроны
обладают удивительной особенностью: они абсолютно тождественны, т.е. ничем не отличаются друг от друга. Если в некоторой системе
мы поменяем местами, например, два электрона, переставив один на место другого, то такая
перестановка не приведет ни к каким изменениям и не сможет быть обнаружена экспериментально. В этом заключается принцип тождественности, или неразличимости одинаковых частиц, из которого следуют очень важные выводы.

3.

Рассмотрим, например, систему из двух частиц.
Пусть состояние этой системы описывается
волновой функцией ( x1 , x2 ), где x – совокупность всех декартовых координат частицы. Переставим частицы местами. Система
частиц после перестановки, согласно принципу неразличимости, не отличается от исходной системы. Поэтому
2
2
( x , x ) ( x , x ) (17.1)
1
или
2
2
1
( x1 , x2 ) ( x2 , x1 )
(17.2)

4.

Т.е. волновая функция либо не меняется при перестановке частиц (такая функция называется симметричной), либо меняет знак (такая функция
на-зывается антисимметричной).
Соответственно существует два типа частиц. Одни
описываются симметричными функциями, называются бозе-частицами (коротко бозонами) и
подчиняются статистике Бозе - Эйнштейна (Bose
Sh., Einstein A.). Результаты экспериментов показывают, что к бозонам принадлежат частицы,
имеющие спин, равный целому
или нулю
(фотоны, пи-мезоны, альфа-частицы и др.).

5.

Другие элементарные частицы описываются антисимметричными функциями, называются фермичастицами (коротко фермионами) и подчиняются статистике Ферми - Дирака (Fermi E., Dirac P.).
Фермионами являются все частицы, имеющие
полуцелый спин / 2 (протоны, нейтроны, мюоны,
кварки, и др.), а также электроны, которые в этом
курсе нас интересуют больше всего.
Для систем из ферми-частиц (в частности из электронов) имеет место один из важнейших принципов квантовой механики – принцип Паули, или
принцип исключения.

6. Принцип Паули (Pauli W., 1925 г)

Рассмотрим этот принцип сначала на простейшем примере – системе из двух электронов.
Пусть первый электрон находится в состоянии
A, а второй в состоянии B. Т.к. электроны неразличимы, то
( x1 , x2 ) ( x2 , x1 )
2
или
2
( x1 , x2 ) ( x2 , x1 )
где выбран знак “–“, т.к. электроны описываются
антисимметричными функциями.

7.

С другой стороны, волновую функцию системы
электронов можно представить в виде произведения волновых функций отдельных электронов:
( x1 , x2 ) A ( x1 ) B ( x2 ) ,
( x2 , x1 ) A ( x2 ) B ( x1 ) .
Т.к. электроны неразличимы, то невозможно установить, какая из функций ( x1 , x2 ) или
( x2 , x1 ) описывает состояние системы в
любой данный момент времени.

8.

Можно сказать, что состояние системы описывается обеими волновыми функциями с равной вероятностью; или по-другому: система
половину времени проводит в состоянии
( x1 , x2 ), а половину времени в состоянии
( x2 , x1 ) . Это означает, что на самом деле
состояние рассматриваемой системы должно
описываться линейной комбинацией обеих
волновых функций, причем эта комбинация
должна быть антисимметрична (т.е. менять
знак при перестановке частиц).

9.

"Истинная" волновая функция рассматриваемой
системы должна иметь вид:
A ( x1 ) B ( x2 ) A ( x2 ) B ( x1 )
A ( x1 ) A ( x2 )
(17.3)
B ( x1 ) B ( x2 )
Отсюда следует, что если A = B, то Ψ = 0. Другими словами, вероятность пребывания системы
в состоянии A = B равна нулю.
Итак, оба электрона не могут одновременно
находиться в одинаковых состояниях, т.к. в
этом случае Ψ = 0.

10.

Полученный результат легко обобщить на систему из N тождественных частиц. Состояние такой системы описывается произведением функций:
( x1 , x2 ,..., xN ) A ( x1 ) B ( x2 )... N ( xN ), (17.4)
причем при перестановке любой пары частиц
(электронов) волновая функция меняет знак,
но состояния, отличающиеся такими перестановками неразличимы. Возможны N! Таких перестановок, следовательно состояние системы
должно описываться линейной комбинацией
всех N! функций вида (17.4), причем эта комбинация должна быть антисимметрична.

11.

Существует единственная антисимметричная относительно любой пары частиц волновая функция:
A ( x1 ) A ( x2 ) ... A ( xN )
B ( x1 ) B ( x2 ) ... B ( xN )
. . . . . . . . . . .
(17.5)
N ( x1 ) N ( x2 ) ... N ( xN )
Перестановке двух любых частиц соответствует
перестановка двух столбцов определителя; при
этом сам определитель меняет знак, со-храняя
свою величину.

12.

Но если два столбца определителя окажутся одинаковыми, то волновая функция обратится в
нуль. Т.е. две частицы (два электрона) не могут
находиться в одинаковых состояниях (вероятность этого равна нулю, т.к. волновая функция
равна нулю). Это и есть один из важнейших
принципов атомной физики, установленный Паули в 1925 г: “В любой физической системе (в
частности, в атоме) не может существовать двух
электронов в одном и том же состоянии.”
Принцип Паули справедлив не только для систем из электронов, но и из любых ферми-частиц, в частности для протонов и нейтронов в ядре, кварков в протоне и нейтроне и т.д.

13.

Состояние любого электрона в атоме
может быть полностью охарактеризовано четверкой квантовых чисел: n,
l,
m, ms. Поэтому принцип Паули применительно к атому может быть сформулирован так: в атоме не может быть
двух или более электронов с одинаковой четверкой квантовых чисел.