О числе значащих цифр

1. О числе значащих цифр в численном значении оценки среднего и его погрешности

Наиболее часто встречающаяся на практике статистическая процедура – оценивание
математического ожидания генеральной совокупности (генерального среднего) по выборке
объема n с указанием погрешности полученной оценки.
Для равноточного ряда измерений оценки среднего
Среднеквадратичная погрешность оценки среднего имеет вид
n
( x)
( x x)
i 1
2
i
n ( n 1)
При этом обычная форма записи результатов оценивания выглядит следующим образом:
x ( x)
Например: 98.327 ± 7.812.

2. О числе значащих цифр в численном значении оценки среднего и его погрешности

Возникает вопрос, какое число значащих цифр следует оставлять в представлении
чисел x и ( x ). Ответ на этот вопрос может быть получен из следующего
рассмотрения.
Пусть дисперсия генеральной совокупности известна и равна σ02. Тогда значение
дисперсии среднего будет равно σ02/n. Разделим несмещенную оценку дисперсии
2
среднего D(x) = ( x) на величину σ02
и вычислим дисперсии обоих частей этого равенства. Используя свойство дисперсии
D(a·ξ) = a2·D(ξ) получим:
Заметим, что если значения xi следуют нормальному распределению, тогда величина
будет подчиняться распределению χ2 с числом степеней свободы n-1.

3. О числе значащих цифр в численном значении оценки среднего и его погрешности

.
О числе значащих цифр в численном значении оценки
среднего и его погрешности
Так как дисперсия распределения χ2 равна двум степеням свободы 2(n-1), для
дисперсии оценки несмещенной оценки дисперсии среднего D(D(x)) , будет
справедливо выражение
C другой стороны, дисперсию D(x) можно представить в следующем виде
D(x) = σ2(x). Тогда величину D(D(x)) можно рассматривать как средний квадрат
02
0
приращения ΔD(x)
D( x) D( x)
n
2 ( x) ( x) 2
n
( x)
При этом
где по определению
.
Приравнивая выражения для D(D(x)), выведенные разными способами,
получим

4. О числе значащих цифр в численном значении оценки среднего и его погрешности

Тогда отношение дисперсии погрешности среднего
равно
к дисперсии среднего будет
Таким образом, величина относительной погрешности оценки среднего
примет вид
Рассмотрим конкретный пример. Пусть в результате обработки выборки объема 19
получилась оценка
при этом
= 0.167
Абсолютная погрешность
в этом случае равна
= 0.345*0.167 = 0.058
т.е. в представлении (x ) не заслуживает доверия уже вторая цифра после запятой.
0.287 < (x ) < 0.403. С учетом этого ответ разумно записать: 6.2 ± 0.3.

5.

О числе значащих цифр в численном значении оценки
среднего и его погрешности
Пример: Пусть рассчитан доверительный интервал
0.5
Xc t D
То есть
0.5
11.188
Xc t D
7.886
Хс = 9.537 ± 1.651 .
1.651
2 ( N 1)
0.337
Первая цифра после десятичной точки меньше 5, поэтому верим первой цифре
после десятичной точки (по правилам округления).
Таким образом Хс = 9.5 ± 1.7 .