Лекция 5 — НЛДУ Метод вариации ПП

1. ДУиЧМ

Лекция 5
НЛДУ ВП

2.

Решение неоднородного линейного
дифференциального уравнения (НЛДУ)
Рассмотрим неоднородное линейное
дифференциальное уравнение с переменными
коэффициентами
или в операторной форме Ln[y]=f(x),
(a, b) – интервал непрерывности для этого уравнения.
Уравнение Ln [y]=0 − является соответствующим
однородным уравнением для данного НЛДУ.
2

3.

Теорема (о структуре общего решения НЛДУ)
Пусть
– общее решение ОЛДУ,
оо
соответствующего данному НЛДУ на (a, b);
ỹ – некоторое решение НЛДУ на (a, b).
Тогда общее решение НЛДУ:
Общее
решение
неоднородного
ДУ
y x y x
он
оо
Общее решение
однородного
ДУ
y x
чн
Частное
решение
неоднородного
ДУ
3

4.

Метод вариации произвольных постоянных
(метод Лагранжа)
Применяется для нахождения частного решения НЛДУ.
Рассмотрим неоднородное линейное уравнение Ln [y]=f(x), х (a, b).
Шаг 1. ОЛДУ. Ln[ y(x) ] = 0.
Решение НЛДУ можно получить, если известно общее решение ОЛДУ,
соответствующее НЛДУ:
n
yOO Ci yi
i 1
Шаг 2. НЛДУ.
n
Идея метода: будем искать решение НЛДУ в виде
yЧН Ci x yi
i 1
где Ci (x) – некоторые непрерывно дифференцируемые на (a, b) функции,
которые надо найти.
4

5.

n
yЧН Ci x yi
i 1
Производные С’i находим из системы:
5

6.

Пример. Решить задачу Коши для уравнения у'''−у"=ех
при начальных условиях у(0)=1, у'(0)=у"(0)=0.
6

7.

7