Фигуры второго порядка в пространстве

1. Фигуры второго порядка в пространстве. Эллипсоид, гиперболоид, параболоид, гиперболический параболоид

ФИГУРЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА В
ПРОСТРАНСТВЕ. ЭЛЛИПСОИД,
ГИПЕРБОЛОИД, ПАРАБОЛОИД,
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД
Выполнили:
Плишкина Дарья,
Власова Анна,
Кузяева Ксения
141 группа

2. Фигуры второго порядка в пространстве

ФИГУРЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА В ПРОСТРАНСТВЕ
Фигуры второго порядка в
пространстве — это
поверхности, которые в
декартовой системе координат
определяются алгебраическими
уравнениями второй степени.
Они играют важную роль в
аналитической геометрии и
находят применение в различных
областях науки и техники.

3. Эллипсоид. определение

ЭЛЛИПСОИД. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Поверхностью второго порядка, называемой эллипсоидом, называется
множество точек трёхмерного пространства, декартовы координаты которых
удовлетворяют каноническому уравнению
где a>0, b>0, c>0 — параметры, называемые полуосями эллипсоида.

4. Эллипсоид. определение

ЭЛЛИПСОИД. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Название «эллипсоид» связано с тем, что любое сечение этой поверхности
плоскостью представляет собой эллипс (в частных случаях — окружность).
Эллипсоид является пространственным аналогом эллипса на плоскости.
Числа a, b, c определяют размеры эллипсоида вдоль координатных
осей Ox, Oy и Oz соответственно. Если откладывать от начала координат отрезки
длиной a, b, c вдоль положительных направлений осей, то полученные точки будут
лежать на поверхности эллипсоида.

5. Эллипсоид. Частные случаи эллипсоида

ЭЛЛИПСОИД. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ЭЛЛИПСОИДА
В зависимости от соотношения между полуосями a, b, c различают несколько видов
эллипсоида.
1. Трёхосный эллипсоид. Все три
полуоси различны: a≠b≠c. Такой
эллипсоид имеет три различные по
длине оси симметрии. Он не
вырождается в тело вращения и
обладает наиболее общей формой.

6. Эллипсоид. Частные случаи эллипсоида

ЭЛЛИПСОИД. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ЭЛЛИПСОИДА
2. Эллипсоид вращения. Две полуоси равны между собой. В зависимости от того, какие именно оси равны,
возможны три варианта:
• a=b — эллипсоид вращения вокруг оси Oz;
• a=c — эллипсоид вращения вокруг оси Oy;
• b=c — эллипсоид вращения вокруг оси Ox.
Эллипсоид вращения может быть получен вращением эллипса вокруг одной из его осей. Например,
при a=b уравнение принимает вид
где x2+y2=r2 — квадрат расстояния от точки до
оси Oz. Это означает, что в любом сечении
плоскостью z=const получается окружность.

7. Эллипсоид. Частные случаи эллипсоида

ЭЛЛИПСОИД. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ЭЛЛИПСОИДА
3. Сфера. Все три полуоси равны: a=b=c=R. В этом случае каноническое
уравнение эллипсоида переходит в уравнение сферы:
Сфера является частным случаем эллипсоида,
обладающим максимальной симметрией: она
симметрична относительно любой прямой,
проходящей через центр, и относительно любой
плоскости, проходящей через центр.

8. Эллипсоид. Ограниченность и вершины эллипсоида

ЭЛЛИПСОИД. ОГРАНИЧЕННОСТЬ И ВЕРШИНЫ ЭЛЛИПСОИДА
Ограниченность. Из канонического уравнения эллипсоида непосредственно следуют неравенства,
ограничивающие координаты точек поверхности:
Отсюда получаем:
Это означает, что эллипсоид целиком расположен внутри прямоугольного параллелепипеда с центром в
начале координат. Грани этого параллелепипеда параллельны координатным плоскостям, а длины его
рёбер равны 2a (вдоль оси Ox), 2b (вдоль оси Oy) и 2c (вдоль оси Oz).
Важно отметить, что эллипсоид является единственной ограниченной поверхностью среди всех
основных поверхностей второго порядка. Гиперболоиды и параболоиды уходят в бесконечность.

9. Эллипсоид. Ограниченность и вершины эллипсоида

ЭЛЛИПСОИД. ОГРАНИЧЕННОСТЬ И ВЕРШИНЫ ЭЛЛИПСОИДА
Вершины эллипсоида. Точки пересечения эллипсоида с координатными осями
называются его вершинами. Всего эллипсоид имеет шесть вершин:
на оси Ox: (±a,0,0);
на оси Oy: (0,±b,0);
на оси Oz: (0,0,±c).
Эти точки являются самыми удалёнными от центра вдоль соответствующих
направлений. Расстояния от центра до вершин равны полуосям a, b, c.
Центр эллипсоида. Начало координат O(0,0,0) является центром симметрии эллипсоида
и называется его центром. Все вершины расположены симметрично относительно
центра.
Полуоси. Числа a, b, c называются полуосями эллипсоида. Если все три полуоси
различны, эллипсоид называется трёхосным. Если какие-либо две полуоси равны,
эллипсоид называется эллипсоидом вращения. Если равны все три — сферой.

10. Эллипсоид. Мнимый эллипсоид

ЭЛЛИПСОИД. МНИМЫЙ ЭЛЛИПСОИД
В математике наряду с действительными поверхностями иногда рассматриваются так называемые мнимые
поверхности. Они задаются уравнениями, которые не имеют решений в действительных числах, но могут
рассматриваться в комплексном пространстве.
Рассмотрим уравнение:
Левая часть этого уравнения представляет собой сумму квадратов (с положительными коэффициентами). Для
любых действительных чисел x, y, z сумма квадратов является неотрицательной:
Она не может быть равна отрицательному числу −1 ни при каких действительных
значениях x, y, z. Следовательно, данное уравнение не имеет ни одной
действительной точки.
Тем не менее, по аналогии с действительным эллипсоидом, такое уравнение называют уравнением «мнимого
эллипсоида». В курсе аналитической геометрии обычно ограничиваются рассмотрением действительных
поверхностей, но понятие мнимого эллипсоида иногда упоминается для полноты классификации
поверхностей второго порядка.
Таким образом, действительный эллипсоид задаётся уравнением с правой частью +1, а мнимый — с правой
частью −1 и не имеет геометрического образа в трёхмерном действительном пространстве.

11. Гиперболоиды

ГИПЕРБОЛОИДЫ
Однополостным гиперболоидом называется
геометрическое место точек пространства, координаты
которых в некоторой декартовой системе координат
удовлетворяют уравнению
где a, b, c – положительные константы.
Однополостный гиперболоид имеет центр симметрии
O(0; 0; 0) и три плоскости симметрии xOy, xOz, yOz.

12.

ГИПЕРБОЛОИДЫ

13.

ГИПЕРБОЛОИДЫ
Сечения поверхности:
1) При z = const:
получаются эллипсы.
2) При x = const или y = const:
получаются гиперболы.
Величины a, b и c называются полуосями
однополостного гиперболоида. Если a = b, то
однополостный гиперболоид является
поверхностью вращения. Он получается в
результате вращения вокруг своей мнимой
оси гиперболы

14.

ГИПЕРБОЛОИДЫ
Двуполостным гиперболоидом называется геометрическое место точек пространства,
координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению
где a, b, c – положительные константы.
Система координат, в которой двуполостный гиперболоид имеет уравнение (3) называется
его канонической системой координат, а уравнение (3) – каноническим уравнением
двуполостного гиперболоида.
Двуполостный гиперболоид имеет центр симметрии O(0; 0; 0) и три плоскости симметрии
xOy, xOz, yOz.

15.

ГИПЕРБОЛОИДЫ
Свойства:
1) при z = const получаются эллипсы;
2) при других сечениях — гиперболы;
3) поверхность не связна.
Величины a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида.
Если a=b, то двуполостный гиперболоид является поверхностью
вращения. Он получается в результате вращения вокруг своей
действительной оси гиперболы

16. Параболоиды

ПАРАБОЛОИДЫ
Эллиптическим параболоидом называется геометрическое
место точек пространства, координаты которых в некоторой
декартовой системе координат удовлетворяют уравнению:
где a, b – положительные константы.
Система координат, в которой эллиптический параболоид
имеет уравнение называется его канонической системой
координат, а уравнение – каноническим уравнением
эллиптического параболоида.

17. Параболоиды

ПАРАБОЛОИДЫ
Величины a и b называются параметрами параболоида. Точка O
называется вершиной параболоида. Эллиптический параболоид
это поверхность, которая получается при движении одной
параболы вдоль другой.
Эллиптический параболоид имеет две плоскости симметрии xOz,
yOz.
Сечения
При z = const получаются эллипсы:
При x = const или y = const получаются параболы.

18. гиперболический Параболоид. определение

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Гиперболический параболоид — поверхность второго порядка, которая в некоторой
прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением:
где a>0, b>0 — параметры поверхности.
В некоторых учебниках используется также
форма записи:

19. гиперболический Параболоид. определение

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Название «гиперболический параболоид» связано с тем, что в сечениях этой поверхности
получаются параболы и гиперболы.
Поверхность имеет форму седла и не является ограниченной — она уходит в
бесконечность.

20. гиперболический Параболоид. Частные случаи

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ
В зависимости от соотношения параметров a и b различают:
Равнопараметрический гиперболический параболоид — a=b. В этом случае уравнение принимает вид:
Общий случай — a≠b Поверхность вытянута вдоль одной из осей.
Если один из параметров стремится к бесконечности, поверхность вырождается в параболический цилиндр.
Важно отметить, что в отличие от эллиптического параболоида (который имеет форму чаши),
гиперболический параболоид в разных направлениях ведёт себя по-разному: вдоль оси Ox он направлен
вверх, а вдоль оси Oy — вниз.

21. гиперболический Параболоид. Основные сечения

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД. ОСНОВНЫЕ СЕЧЕНИЯ
Сечение плоскостью Oxz (y=0):
Подставляя y=0 в уравнение, получаем:
Это парабола, направленная вверх, с вершиной в начале координат, осью симметрии является
ось Oz.
Сечение плоскостью Oyz (x=0):
Подставляя x=0, получаем:
Это парабола, направленная вниз, с вершиной в начале координат.
Таким образом, в двух взаимно перпендикулярных плоскостях мы получаем параболы,
направленные в противоположные стороны. Именно это придаёт поверхности седловидную форму.