Лекция . Перпендикулярность плоскостей_d4e8228556a1179ca89123751279d1cf

1.

Университетский лицей №1523
Предуниверситария НИЯУ МИФИ
Лекции по геометрии
10 класс
© Хомутова Лариса Юрьевна
© Крайко Мария Александровна

2.

Перпендикулярность
плоскостей

3.

НАПОМНИМ:
Угол между параллельными
плоскостями считается равным нулю;
углом между пересекающимися
плоскостями называется
наименьший из четырех двугранных углов, образованных при их
пересечении (к примеру, на рисунке ( ; ) = min{ AOB; AOD}.
Замечание: Угол между плоскостями лежит в пределах [0; 90 ].
Две плоскости называются перпендикулярными,
если угол между ними равен 90 : ( ; ) = 90 .

4.

Признак перпендикулярности двух плоскостей:
Если одна из двух пересекающихся плоскостей содержит прямую,
перпендикулярную второй плоскости, то эти плоскости
перпендикулярны.
Доказательство:
1. Выберем на прямой a произвольную
точку A; обозначим a l = O
2. a ,
l
по определению перпендикулярности
прямой и плоскости, a l.
3. Через точку O в плоскости проведем прямую OB l.
AO l OB, AOB – линейный угол двугранного угла l по определению.
4.
a ,
OB
по определению перпендикулярности прямой и плоскости,
a OB. Следовательно, l = AOB = 90 , т.е. по определению.

5.

Свойство перпендикулярных плоскостей: Если две плоскости
перпендикулярны, то прямая, лежащая в одной из них и
перпендикулярная их линии пересечения, перпендикулярна
второй плоскости.
Доказательство:
1. Выберем на прямой a произвольную
точку A; обозначим a l = O Через
точку O в плоскости проведем прямую
OB l. AO l OB, AOB – линейный
угол
двугранного
угла
l
по
определению.
2.
По
условию
l = AOB = 90 .
3.
Замечание: Через заданную точку A
можно провести бесконечное множество
плоскостей, перпендикулярных заданной
плоскости . Каждая из таких плоскостей
содержит прямую, проходящую через
точку A перпендикулярно плоскости .
a l;
a OB;
l OB O
;
по признаку
перпендикулярности прямой и плоскости,
a .

6.

Ключевая задача №1 (Мерзляк стр.129):
Если две плоскости перпендикулярны и через точку одной из
плоскостей проведена прямая перпендикулярно другой плоскости,
то эта прямая принадлежит первой плоскости.
Ключевая задача №2 (Мерзляк стр.129):
Если каждая из двух пересекающихся плоскостей
перпендикулярна третьей плоскости, то прямая их пересечения
перпендикулярна этой плоскости.