fe10bdc74c8ff770ebb37309fc0311ef

1.

ПРЯМЫЕ И
ПЛОСКОСТИ

2.

Изучить аксиомы стереометрии:
- о взаимном расположении точек,
- о взаимном расположении прямых,
- о взаимном расположении плоскостей
в пространстве.
Изучить некоторые следствия из
аксиом стереометрии.
Показать применение аксиом к
решению задач.

3.

Планиметрия
Стереометрия
Изучает свойства
геометрических фигур на
плоскости
Изучает свойства фигур в
пространстве
В переводе с греческого
слово «геометрия»
означает «землемерие»
«гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить
Слово «стереометрия»
происходит от греческих слов
«стереос» объемный,
пространственный, «метрео»
– мерить

4.

Планиметрия
Основные фигуры: точка,
прямая
Другие фигуры: отрезок, луч,
треугольник, квадрат, ромб,
параллелограмм, трапеция,
прямоугольник, выпуклые и
невыпуклые n-угольники,
круг, окружность, дуга и др.
Стереометрия
Основные фигуры: точка,
прямая, плоскость
Наряду с этими фигурами мы
будем рассматривать
геометрические тела и их
поверхности.
Например, многогранники.
Куб, параллелепипед, призма,
пирамида.
Тела вращения.
Шар, сфера, цилиндр, конус.

5.

Для обозначение точек используем прописные латинские
буквы
A
D
F
Для обозначение прямых используем строчные латинские
буквы
f
d
h
Или обозначаем прямую двумя прописными латинскими
буквами.
N
S

6.

Плоскости будем обозначать греческими буквами.
На рисунках плоскости обозначаются в виде
параллелограммов. Плоскость как геометрическую фигуру
следует представлять себе простирающейся неограниченно
во все стороны.

7.

.
• Плоскость – грань
• Прямая – ребро
• Точка – вершина
вершина
грань
ребро

8.

ТЕМА 1. Аксиомы стереометрии.
Следствия из аксиом.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только
одна.
C
A
B
Иллюстрация к аксиоме А1:
стеклянная пластинка
плотно ляжет на три
точки А, В и С, не лежащие
на одной прямой.

9.

А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то
все точки прямой лежат в этой плоскости.
B
A
a
А
В
а

10.

А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей. (они пересекаются по прямой)
a
В этом случае говорят, что плоскости пересекаются
по прямой.
a

11.

C
B
A
B a
A
А1.
Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только
одна.
А2.
Если две точки прямой лежат в плоскости,
то все точки прямой лежат в этой
плоскости.
a
А3.
Если две плоскости имеют общую точку,
то они имеют общую прямую, на
которой лежат все общие точки этих
плоскостей.

12.

Из аксиомы А2 следует, что если прямая не лежит в данной
плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку,
то говорят, что они пересекаются.
a
N
а N

13.

Аксиомы стереометрии описывают:
А3
А2
А1
Способ задания
плоскости
Взаимное расположение
прямой и плоскости
Взаимное
расположение
плоскостей
А
А
В
В
С

14.

Способы задания плоскости
1. Плоскость можно
провести через три точки
2. Можно провести
через прямую и не
лежащую на ней точку
Аксиома 1
Теорема 1
3. Можно провести
через две
пересекающиеся
прямые
Теорема 2

15.

Взаимное расположение прямой и
плоскости
Прямая лежит в
плоскости
Прямая пересекает
плоскость
Прямая и плоскость
Не имеют общих точек
а
а
Множество
общих точек
М
а
Нет общих точек
Единственная
общая точка
а

16. Взаимное расположение прямой и плоскости.

а
а
α
а
А
α
а А
а
α
а || α

17.

Следствия из аксиом.
№1
Через прямую и не лежащую на
ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
№2
Через две пересекающиеся
прямые проходит плоскость, и
притом только одна.
№3
. Через две параллельные
прямые проходит плоскость и
притом только одна.

18.

D
K
P
M
A
E
B
Назовите
плоскости, в
которых лежат
прямые
РЕ
МК
DB
C
AB
EC

19.

Назовите
D
K
P
M
точки пересечения
прямой DK с
плоскостью АВС,
прямой СЕ с
плоскостью АDB.
C
A
E
B

20.

D
K
Назовите точки,
лежащие в
плоскостях АDB и
DBC
P
M
C
A
E
B

21.

D
K
P
M
A
E
B
Назовите прямые
по которым
пересекаются
плоскости
АВС и DCB
ABD и CDA
C PDC и ABC

22.

Прочти чертеж
b
c
a
b B
B
a
c

23.

ТЕМА 2. Параллельность прямых.
Взаимное расположение прямых в
пространстве.
Определение. Две прямые в пространстве
называются параллельными, если они лежат в одной
плоскости и не пересекаются.
a
M
b
Теорема о
параллельных прямых.
Через любую точку
пространства, не
лежащую на данной
прямой проходит
прямая, параллельная
данной, и притом
только одна.

24.

Свойства параллельных прямых
a
b
Свойство 1. Если одна из двух
параллельных прямых
пересекает данную плоскость,
то и другая прямая пересекает
эту плоскость.
c
a
b
Свойство 2. Если две
прямые параллельны
третьей прямой, то они
параллельны.

25.

Определение. Две прямые называются
скрещивающимися, если они не лежат в одной
плоскости.
b
a
K
Признак скрещивающихся
прямых.
Если одна из двух прямых
лежит в некоторой
плоскости, а другая прямая
пересекает эту плоскость в
точке, не лежащей на
первой прямой, то эти
прямые скрещивающиеся.

26.

Случаи взаимного расположения прямых в
пространстве.
Пересекающиеся прямые
(лежат в одной плоскости).
b
a
K
Параллельные прямые
(лежат в одной
плоскости).
a
b
a
b
Скрещивающиеся прямые
(не лежат в одной
плоскости).

27.

ТЕМА 3. Параллельность прямой и
плоскости. Параллельность плоскостей
Определение. Прямая и плоскость называются
параллельными, если они не имеют общих
точек (т.е. не пересекаются)
b
a
b || α или a || b
Признак параллельности
прямой и плоскости.
Теорема. Если прямая, не
лежащая в данной
плоскости, параллельна
какой-нибудь прямой,
лежащей в этой плоскости,
то она параллельна самой
плоскости.

28.

Замечания.
1. Если плоскость проходит через данную прямую,
параллельную другой плоскости, и пересекает эту
плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна
данной прямой.
2. Если одна из двух
параллельных прямых
a
параллельна данной
плоскости, а другая
прямая имеет с
плоскостью общую точку,
то эта прямая лежит в
b
данной плоскости.
Случаи взаимного расположения прямой и плоскости:
а) прямая лежит в плоскости;
б) прямая и плоскость имеют только одну общую точку;
в) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.

29.

Определение. Две плоскости называются
параллельными, если они не имеют общих точек.
b1
a1
b
a
Теорема. Если две
пересекающиеся прямые
одной плоскости
соответственно
параллельны двум
прямым другой
плоскости, то эти
плоскости параллельны.

30.

Cвойства параллельных плоскостей
Если две параллельные
плоскости пересекаются третьей,
то прямые пересечения параллельны
между собой.
a
b

31.

Отрезки параллельных
прямых, заключённых между двумя
параллельными плоскостями равны.
B1
A1
b
a
A2
B2

32.

ТЕМА 4. Перпендикулярность прямых в
пространстве. Перпендикулярность
прямой и плоскости.
Определение. Две прямые в
пространстве называются
перпендикулярными, если угол
между ними равен 90o.
a b,
a b
a
b
Перпендикулярные прямые могут пересекаться и
могут быть скрещивающимися.

33.

Определение. Прямая называется перпендикулярной к
плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой,
лежащей в этой плоскости.
a
a

34.

Теорема 1
Если одна из двух параллельных прямых
перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая
перпендикулярна к этой плоскости.
a
a
a1

35.

Теорема 2
Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то
они параллельны.
a
a
b
b
a II b

36.

Признак перпендикулярности прямой и
плоскости.
Теорема. Если прямая перпендикулярна к двум
пересекающимся прямым, лежащим в одной
плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
a
b
c

37.

ТЕОРЕМЫ
1. Через любую точку пространства
проходит плоскость, перпендикулярная к
данной прямой, и притом единственная.
2. Через любую точку пространства
проходит прямая, перпендикулярная к
данной плоскости, и притом только одна.
3. Если две плоскости перпендикулярны к
прямой, то они параллельны.

38.

ТЕМА 5. Перпендикуляр, наклонная,
проекция. Угол между прямой и
плоскости. Теорема о трёх
перпендикулярах.
A
АВ — перпендикуляр
к плоскости
AC — наклонная
CB — проекция
наклонной на
плоскость
АB — расстояние
от точки до плоскости
B
C

39.

Свойства наклонных, выходящих из
одной точки
1. Перпендикуляр всегда короче наклонной,
если они проведены из одной точки.
2. Если наклонные равны, то равны и их
проекции, и наоборот.
3. Большей наклонной соответствует
большая проекция и наоборот.

40.

Расстояние между параллельными плоскостями
АА0 ; ВВ0 , тоАА0|| ВВ 0 АА0 ВВ0
А
α
В
β
А0
В0
Расстояние от произвольной точки
одной из параллельных плоскостей
до другой плоскости называется
расстоянием между
параллельными плоскостями.

41.

Расстояние между прямой и параллельной ей
плоскостью
А
В
А0
В0
а
α
Расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется
расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью.

42.

Расстояние между скрещивающимися
прямыми
а
А
а1
в
А1
α
Расстояние между одной из
скрещивающихся прямых и
плоскостью, проходящей
через другую прямую
параллельно первой,
называется расстоянием
между скрещивающимися
прямыми.

43.

Теорема о трёх перпендикулярах.
Прямая, проведённая в плоскости через основание
наклонной перпендикулярно к её проекции,
перпендикулярна и к самой наклонной.
Обратная теорема. Прямая, проведённая в плоскости
через основание наклонной перпендикулярно к ней,
перпендикулярна и к её проекции.
А
а
С
В

44.

Определение.
Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту
прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол
между прямой и её проекцией на плоскость.
А
С
В

45.

ТЕМА 6. Двугранный угол.
Перпендикулярность плоскостей
а
Определение.
Двугранным углом называется
фигура, образованная прямой а и
двумя полуплоскостями с общей
границей а, и не принадлежащими
одной плоскости.
а - ребро двугранного угла,
полуплоскости – его грани .
Угол АОВ - линейный угол
О
двугранного угла. Чтобы его
В построить, нужно выбрать
произвольную точку О на ребре,
А
а лучи ОА и ОВ должны быть
перпендикулярны к ребру.
Градусной мерой двугранного угла называется градусная
мера любого из его линейных углов.

46.

Определение.
Две пересекающиеся плоскости называются
перпендикулярными, если угол между ними равен 90o.
b
а

47.

Признак перпендикулярности плоскостей.
Если плоскость проходит через прямую a,
перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости
перпендикулярны.
a

48.

49.

D
C
C
A
B
29.04.2026
www.konspekturoka.ru
49

50.

Куб
Тетраэдр
Параллелепипед

51. Угол между пересекающимися прямыми

b
1
4
a
O
2
3
a∩b =O
(a;b) = 2 = 4
Углом между пересекающимися прямыми
называется угол наименьшей градусной
меры.

52. Угол между скрещивающимися прямыми

Углом между скрещивающимися прямыми
называется угол между пересекающимися
прямыми, параллельными данным
скрещивающимся.
b1
b
a
(a ,b) = ( a1,b1)
a1

53.

В-22 Сторона квадрата равна 4см. Точка не
принадлежащая плоскости квадрата, удалена от каждой
из его вершин на расстояние 6см. Найдите расстояние от
этой точки до плоскости квадрата
По опр.
К
В
КО ( АВС ) КО ОВ
b
С
O
А
4
4
D