Лекция 10_2гр

1. Критерий полноты системы булевых функций

2.

Определение. Булева функция f называется линейной,
если ее представление полиномом Жегалкина не
содержит произведения переменных.
Множество всех линейных булевых функций
обозначим символом L.
Определение. Булева функция f ( x1,..., xn ) называется
f
(
x
,...,
x
)
f
(
x
,...,
x
)
самодвойственной, если
.
1
n
1
n
Множество всех самодвойственных булевых функций
обозначим символом S.
Определение. Булева функция f ( x1,..., xn ) называется
монотонной, если для любых x1 ,..., xn , y1 ,..., yn 0,1 из
x1 y1 ,..., xn yn следует f ( x1 ,..., xn ) f ( y1 ,..., yn ) .
Множество всех монотонных
обозначим символом M.
булевых
функций

3.

Пусть P0 - класс всех булевых функций f ( x1,..., xn ) ,
удовлетворяющих условию f (0,...,0) 0 .
Пусть P1 - класс всех булевых функций f ( x1,..., xn ) ,
удовлетворяющих условию f (1,...,1) 1.
Определение. Классы булевых функций L,S,M,P0,P1
называются классами Поста.
Лемма. Классы Поста L,S,M,P0,P1
замкнутыми системами булевых функций.
являются
Теорема Поста. Система булевых функций в том и
только том случае является полной, если она не
содержится ни в одном из классов Поста.

4.

Алгоритм
доказательства
булевых функций
полноты
системы
:
1. Составить таблицу, столбцы которой
помечены классами Поста L,S,M,P0,P1 и строки –
функциями системы f1 ,..., f n .
2. Для каждой из функций f1 ,..., f n проверить
принадлежность ее к классам Поста и результаты
проверки зафиксировать словами «Да» или «Нет»
в соответствующей клетке таблицы.
3. По теореме Поста данная система является
полной в том и только том случае, если в каждом
столбце таблицы имеется слово «Нет».

5.

Пример.
Рассмотрим систему F | , состоящую из одной
булевой функции | – штрих Шеффера. Составляем
таблицу, столбцы которой помечены классами
Поста L,S,M,P0,P1 и одна строка – функцией |.
Функция
|
Классы Поста
L
S
M
P0
P1
Нет
Нет
Нет
Нет
Нет

6. Переключательные схемы

7.

Рассматриваются
электрические
ПС,
представляющие собой соединенные проводниками
переключатели и источники тока.
Условимся обозначать символом 1 протекание
тока в проводниках и символом 0 – отсутствие тока
в проводниках.
P2
P1
P3
A
B
P4
P5

8.

Переключатель - электромагнитное реле с
контактами и индукционной катушкой, состояние
которой моделируется булевой переменной x: x=1 - в
катушке идет ток, и x=0 - в катушке тока нет.
Контакты реле – замыкающие или размыкающие.
Через замыкающий контакт реле ток проходит в том
и только том случае, если x=1 - такой контакт
моделируется булевой переменной x.
Через размыкающий контакт реле ток проходит в
том и только том случае, если x=0 - такой контакт
моделируется отрицанием булевой переменной x .

9.

Пример. Пусть в ПС на рис.1 переключатели
P1 , P5 имеют общую катушку реле с током x1 и
переключатели P2 , P4 имеют общую катушку реле
с током x2 , причем
контакты P1, P2 , P4 –
замыкающие и контакты P3 , P5 – размыкающие.
Тогда такая ПС с помощью булевых переменных
x1 , x2 , x3 изображается следующей диаграммой:
x2
x1
x3
x2
x1

10.

Переключатели p,q могут быть
последовательно или параллельно.
соединены
p
p
q
q
Рис.3
Рис.4
Через
последовательно
соединенные
переключатели p,q ток проходит в том и только том
случае, если p=q=1 такое соединение
моделируется булевым многочленом pq.
Через параллельно соединенные переключатели
p,q ток не проходит в том и только том случае, если
p=q=0 - такое соединение моделируется булевым
многочленом p+q.

11.

В
результате
любая
электрическая
ПС
моделируется некоторым булевым многочленом p,
который принимает значение 1 в том и только том
случае, если в ПС идет ток.
Соответствующая такому многочлену p булева
функция p называется функцией проводимости ПС,
так как она показывает, при каких значениях
булевых переменных (т.е. переключателей данной
схемы) в ПС идет электрический ток.
С другой стороны, каждый булев многочлен
p p x1 ,..., xn
моделирует ПС с функцией
проводимости p : эта схема так конструируется из
переключателей x1, x1 ,..., xn , xn , что в ней при
значениях x1 a1,..., xn an проходит ток в том и
только том случае, если p a1,..., an 1.

12.

Переключательную схему, моделирующую булев
многочлен p p x1 ,..., xn , можно представлять в виде
устройства с n входами и одним выходом, которое
преобразует входные булевы значения x1 a1,..., xn an
в выходное булево значение p a1,..., an .
Графически
диаграммой:
такое
устройство
a1
a2
an
p
p a1,..., an
изображается

13.

Простейшие булевы многочлены моделируют
ПС, которые называются логическими элементами
(или вентилями) и обозначаются специальными
диаграммами.
Примеры.
p ( x ) x
Булев
многочлен
моделирует
устройство с одним входом и одним выходом,
которое изображается диаграммой
a
и называется NOT-элементом.
a

14.

Булев многочлен p x1 ,..., xn x1...xn моделирует
устройство с n входами и одним выходом, которое
изображается диаграммой
a1
a2
p
a1a2 ...an
an
и называется AND-элементом.

15.

p x1 ,..., xn x1 ... xn
Булев
многочлен
моделирует устройство с n входами и одним
выходом, которое изображается диаграммой
a1
a2
an
и называется OR-элементом.
a1 a2 ... an

16.

Примеры.
1. Построим ПС, которая моделирует сложение двух
двоичных цифр и называется полусумматором. Такая
ПС имеет два входа a1 , a2 и два выхода s(a1, a2 ) , c(a1, a2 ) ,
которые описывают два разряда суммы a1 a2 .
Таблица этих булевых функций имеет следующий вид:
a1 a2 s(a1, a2 ) c(a1, a2 )
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1

17.

СДНФ функций: c( x1, x2 ) x1x2 , s( x1 , x2 ) x1 x2 x1 x2 .
s( x1 , x2 ) x1 x2 x1 x2 ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) ( x1 x2 )( x1 x2 )
( x1 x1 x1 x2 x2 x1 x2 x2 ) ( x1 x2 x1 x2 ) ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) c ( x1 x2 ) ,
Полусумматор представляется диаграммой:
a1
c(a1, a2 )
s(a1, a2 )
a2

18.

Символически
диаграммой:
полусумматор
a1 a2
a1
a2
изображается
ПС
a1 a2
Сложностью ПС называется число логических
элементов в этой схеме.
Полусумматор реализуется ПС сложности 4.

19.

Примеры.
2. Построим ПС, которая моделирует сложение трех
двоичных цифр и называется сумматором. Такая ПС
a1 , a2 , a3
имеет
три
входа
и
два
выхода
s (a1 , a2 , a3 ) , c (a1 , a2 , a3 ) , которые описывают два разряда
суммы a1 a2 a3 .
Легко проверить, что
Реализуется сумматор ПС сложности 9.

20.

С помощью полусумматоров такую ПС можно
представить следующей диаграммой:
a1
s(a1, a2 , a3 )
a2
s(a2 , a3 ) ПС
a3
c(a2 , a3 )
ПС
c(a1, s(a2 , a3 ))
c(a1, a2 , a3 )
Сумматор реализуется ПС сложности 9.

21.

Теорема 1. Суммирование двух n-разрядных
двоичных чисел реализуется ПС сложности
которая
обозначается
сумматором порядка n.
и
называется
Теорема 2. Умножение двух n-разрядных
двоичных чисел реализуется ПС сложности
которая обозначается
и называется
умножителем порядка n.