цилиндр

1. Цилиндрические поверхности в аналитической геометрии

Щеренко 141
Брандт 141
Рассохацкий 141

2. Общий контекст

Основной подход — координатный (аналитический), при
котором геометрические объекты
задаются уравнениями вида:
φ(x, y, z) = 0.
Фигура Φ определяется следующим образом:
A ∈ Φ ⇔ φ(x_A, y_A, z_A) = 0

3. Основные определения

Определение:
Цилиндром в пространстве называется объединение
некоторого (непустого) множества
параллельных между собой прямых, называемых
образующими цилиндра
Следствия:
1) Каждая прямая множества является образующей цилиндра
2) Все образующие попарно параллельны
3) Цилиндр есть геометрическое множество точек
Определение:
Фигура, имеющая точно одну общую точку с каждой
образующей, называется направляющей цилиндра

4. Дополнительные определения

Определение:
Направляющая, полученная как пересечение цилиндра с
плоскостью, не параллельной образующим,
называется плоской направляющей.
Определение:
Образующая цилиндра — прямая, принадлежащая
множеству, объединение которого образует цилиндр.
Определение:
Форма цилиндра определяется его направляющей.

5. Связь с другими фигурами

Определение (конус):
Конусом называется множество,
полученное объединением прямых,
проходящих через одну общую точку.
Сравнение:
Цилиндр - объединение параллельных
прямых.
Конус - объединение прямых, проходящих
через вершину.

6. Кинематическая интерпретация

Цилиндр можно рассматривать как траекторию движения одной
образующей при её перемещении
по направляющей.
Это означает, что если L — образующая, а γ — направляющая, то
цилиндр:
Φ = ⋃_{M ∈ γ} L(M)

7.

где L(M) — прямая, проходящая через точку M параллельно фиксированному
направлению.

8. Аналитическое задание цилиндра

Пусть направляющая задана уравнением:
φ(x, y) = 0.
Тогда цилиндр с образующими,
параллельными оси Oz, задаётся:
φ(x, y) = 0.
Обобщённо:
φ(x, y, z) = φ(x, y).
Отсутствие переменной z означает
инвариантность вдоль оси Oz.

9. Частные случаи аналитических цилиндров

1) φ(x, y) = 0 → цилиндр вдоль Oz
2) φ(y, z) = 0 → цилиндр вдоль Ox
3) φ(x, z) = 0 → цилиндр вдоль Oy
Пример:
x^2 + y^2 = R^2 — цилиндр вдоль оси Oz.

10. Свойства цилиндров

1) Инвариантность:
Если (x, y, z) удовлетворяет φ(x, y) = 0, то (x, y, z + t) также
удовлетворяет.
2) Линейная структура:
Цилиндр есть объединение прямых.
3) Геометрическая зависимость:
Форма цилиндра определяется направляющей.

11. Формулы и примеры

Окружность:
x^2 + y^2 = R^2
Цилиндр:
x^2 + y^2 = R^2
Сдвиг центра:
(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2
Цилиндр:
(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2

12. Связь с фигурами вращения

Прямой круговой цилиндр
является фигурой
вращения.
Если рассматривать
меридиан:
f(x, y) = 0,
то фигура вращения
задаётся:
f(±√(x^2 + z^2), y) = 0

13. Итог

Цилиндр:
— объединение параллельных прямых
— определяется направляющей
— задаётся уравнением без одной переменной
Формально:
Φ = {(x, y, z) ∈ R^3 | φ(x, y) = 0}