LEKTsIYa_Osnovy_trigonometrii

1. Основы тригонометрии

2. Зарождение тригонометрии относится к глубокой древности. Само название «тригонометрия» греческого происхождения, обозначает

«измерение
треугольников».
Одним из основоположников тригонометрии
считается
древнегреческий
астроном
Гиппарх, живший во 2 веке до нашей эры.
Гиппарх (Hípparchos) (около 180—190 до н.
э., Никея, — 125 до н. э., Родос),
древнегреческий учёный.
Гиппарх является автором первых
тригонометрических таблиц и одним из
основоположников астрономии.

3.

В
древности
тригонометрия
возникла в связи с потребностями
астрономии,
землемерия
и
строительного дела, то есть носила
чисто геометрический характер и
представляла главным образом
«исчисление хорд». Со временем в
нее начали вкрапляться некоторые
аналитические моменты. В первой
половине 18-го века произошел
резкий
перелом,
после
чего
тригонометрия
приняла
новое
направление и сместилась в
сторону математического анализа.
Именно
в
это
время
тригонометрические зависимости
стали
рассматриваться
как
функции. Это имеет не только
математико-исторический, но и
методико-педагогический интерес.

4.

Вспомним:
0 90
с
а
a
sin
с
b
cos
c
a
tg
b
в
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике —
отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс — отношение противолежащего катета к
прилежащему.

5.

В XVIII веке Леонард Эйлер
дал современные, более
общие определения,
расширив область
определения этих функций
на всю числовую ось.
угол _ поворота
R

6.

у
1
0
х
1

7.

у
1
0
х
1

8.

у
1
0
х
1

9.

у
1
0
х
1

10.

11. Справедливы формулы зависимости между радианной и градусной мерой:

360 180
1 рад
57 , 2958
2
1
180
0, 017453 рад
n
n
180
n n
180

12.

Перевести градусы в радианы: а)15○ б) 120○ в) 270○ г) 90○
а)
15
180
12
б)
120
180
2
3
в)
270
180
Перевести градусы в радианы: а)
6
а)
180
30
6
б )
180
180
3
2
г)
б)
в)
в)
90
180
3
4
3 180
135
4
2

13.

Градусная и радианная меры углов
Угол
в
градусах
n
0 30 45 60
Угол
в
радианах
0
6
4
3
90 180 270 360
2
3
2
2

14. Тригонометрическая окружность

0
y
B
+
II
I
R=1
A
C
0
x
III
IV
D
0

15. Градусы и радианы

0
60
;
2 0 +
45 ; 3
300 ; 4
6
0
0; 0
x
0
3600 ; 2
7
0
11
0
210 ;
330 ;
6
7 6
5
0
0
315 5;
225 ;
0
4
4 4
300
;
3
0
2400 ;
3
270 ;
3
2
2
120 ; 3
3
1350 ;
5 4
1500 ;
6
1800 ;
0
y
900 ;

16. Градусы и радианы

3
270 ;
2
y
0
1800 ;
00 ; 0
x
0
30 ;
6
0
45 ;
0
4
60
;
0
3
90 ;
2
0
-

17.

cos
у
1
P ( x; y)
у
sin
1
0
P (1;0)
х 0
1
х
1

18.

sin y
cos x
Косинус — абсцисса точки P
y
tg
Тангенс – отношение
ординаты к абсциссе
точки P x
x
Котангенс – отношение
ctgточки
абсциссы
к ординате
P y
Синус угла определяется как ордината
точки P

19.

Р90 у
Р60
1
Р45
sin
45
0,7
Р30
cos45 0,7
1
2
-1
1
sin 30
2
cos 30 0,9
Р180
Р
1
0
х 0
1
1
2
1
Р360
sin 60 0,9
1
cos 60
2
-1
Р270

20.

Таблица значений для углов
30 0, 45 0, 60 0
α
30º
45º
60º
sin α
1
1
2
22
2
333
2
2
cos α
3
2
2
2
1
2
tg α
1
3
3
3
1
3
1
1
3
3
3
ctg α
3

21. Знаки тригонометрических функций

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс углов α и –α

у
sin α
M1
α
P(1;0)
–α cos α
–sin α
sin (–α) = – sin α
tg (–α) = –tg α
x
M2
cos (–α) = cos α
ctg (–α) = –ctg α

23.

у
sin
sin( 360 )
sin( 2 360 )
у
sin( n 360 )
cos
1
0
cos( 360 )
х
1
х
cos( 2 360 )
cos( n 360 )
tg
tg ( n 180 )
ctg
ctg ( n 180 )

24.

у
3
sin 60
2
1
cos 60
2
3
2
60
1
0
1
420 ?
sin 780
х
1
2
1
2
cos420
cos780 ?
sin
sin 780
420
sin( 60
2 360 )
sin( 60 360 )
sin 60
sin 60
3
2 23
cos 780
cos
420
360 ))
cos(
cos(60
60 2360
11
cos
cos60
60
22

25. Основные тригонометрические тождества

sin cos 1
2
tg
2
sin
, cos 0
cos
cos
ctg
, sin 0
sin
tg ctg
sin cos
cos sin
1
tg ctg 1
25

26. Разделим обе части равенства на

sin cos 1
2
2
Разделим обе части равенства на sin
2
1
1 ctg
2
sin
2
2
cos
Разделим обе части равенства на
1
tg 1
cos 2
2
26

27.

Формулы двойных углов
1. sin 2 2 sin cos
2. cos 2 cos 2 sin 2
Из формулы 2 вытекают два часто употребляемых соотношения
3. 1 cos 2 2 cos 2 или cos 2 2 cos 2 1
4. 1 cos 2 2 sin 2 или cos 2 1 2 sin 2

28. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ

Позволяют вычислить
значения
тригонометрических
функций угла любой
четверти через угол I
четверти

29.

Будем считать, что угол α – угол I четверти, т.е. α˂ /2
II
III
IV
I
Например: sin ( +α) = - sin α
cos (3 /2+α) = sin α
II
III
IV