10_геометрия_10.04_объем пирамиды

1.

2.

№ 25579.
3
4
Найти объёмы составных
многогранников.
V = abc 5
2
1
1
4
4
4
2 1
V=4∙3∙3+1∙1∙4=36+4=40
V=4∙4∙3 - 2∙1∙4=48-8=40
В13
4 0
3
10 х
х
V=4∙4∙5-2∙1∙1=78
В13
7 8
3
10 х
х

3.

4. Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника – основания пирамиды, точки, не лежащей в

плоскости основания –
вершины пирамиды и
треугольников боковых граней.

5.

Термин “пирамида” заимствован
из греческого “пирамис” или “пирамидос”. Греки в
свою очередь позаимствовали это слово, как
полагают, из египетского языка. В папирусе Ахмеса
встречается слово “пирамус” в смысле ребра
правильной пирамиды. Другие считают, что термин
берет свое начало от форм хлебцев в Древней
Греции “пирос” - рожь). В связи с тем, что форма
пламени иногда напоминает образ пирамиды,
некоторые средневековые ученые считали, что
термин происходит от греческого слова “пир” огонь. Вот почему в некоторых учебниках геометрии
XVI в. пирамида названа “огнеформное тело”.

6.

Высота
P
Вершина
Боковые грани
Основание
H
Боковые ребра
Аn
α
А2
А1

7. Пирамиды

Треугольная
пирамида
(тетраэдр)
Четырехугольная
пирамида
Шестиугольная
пирамида

8.

Пирамида называется правильной, если ее
основание - правильный многоугольник , а
отрезок, соединяющий вершину пирамиды с
центром основания, является ее высотой.
P
h
O
Аn
А1
А3
А2

9. Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины

Апофемы
Все апофемы
правильной
пирамиды равны
друг другу

10. Диагональное сечение пирамиды – сечение плоскостью, проходящей через два не соседних боковых ребра

11.

12. Площадь пирамиды

Sполн. = Sбок. + Sосн.
Sбок.
Sосн.

13.

1
S бок. Pосн. h
2
H
h

14.

Свойства пирамиды:
У правильной пирамиды:
боковые ребра равны;
боковые грани являются
равными равнобедренными
треугольниками;
апофемы равны;
площадь боковой
поверхности правильной
пирамиды равна половине
произведения периметра на
апофему.

15.

Свойства пирамиды:
если боковые ребра пирамиды
равны (или составляют равные
углы с плоскостью основания), то
вершина пирамиды проецируется в
центр окружности, описанной
около основания.
если двугранные углы при
основании пирамиды равны (или
равны высоты боковых граней,
проведенные из вершины
пирамиды), то вершина пирамиды
проецируется в центр окружности,
вписанной в основание пирамиды.

16.

1
V = Sосн.∙h
3

17.

Объем усеченной пирамиды
будем рассматривать как
разность объемов полной
пирамиды и той, что отсечена
от нее плоскостью,
параллельной основанию

18.

Задачи по готовым чертежам
Найдите объем правильной
треугольной пирамиды, стороны
основания которой равны 1, а
высота равна 3.
Найдите высоту правильной
треугольной пирамиды, стороны
основания которой равны 2, а
объем равен 3 .
V2
3 •4 3
1 a 3=
3
1
h
=
=
3
V= 1
• h =4 3• 3 =
3 S4
12
4
3 осн
В 13
25
В 13 03 ,
3
1 03 х
10 х
х
х

19.

Задачи по готовым чертежам
В правильной четырехугольной
пирамиде высота равна 6, сторона
основания равна 10. Найдите ее
объем.
.
В правильной четырехугольной
пирамиде высота равна 6, боковое
ребро равно 10. Найдите ее объем.
Н
450
1
2
2 VAB
=
10
•6= 8
= 200
AB
2
=
2
16 3
AB
сos45 =
AC
1
2
V = 8 2 •6 = 256
3
0
(
)
В 13
В 13
22 05 06
3
1 03 х
10 х
х
х

20.

Задачи (база)
Сторона основания правильной
треугольной пирамиды равна 6, а
V =18 с плоскостью
боковое ребро образует
основания угол 450. Найдите объем
пирамиды.
Высота правильной треугольной
пирамиды равна 4 3 , а боковая грань
V = 192 основания угол
образует с плоскостью
600. Найдите объем пирамиды.