Специальные процессы

1. Специальные процессы

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Процесс “гибели и размножения”

2. Марковский СП с конечным числом состояний, протекающий в системе “S” называется процессом “гибели и размножения”, если граф её

состояний
имеют структуру (рис.1)

3. Рассмотрим процесс гибели и размножения с непрерывным временем и с размеченным графом состояний (рис.2)

4. Матрица плотностей вероятности переходов процессов гибели и размножения имеет вид

5. Для вероятностей состояния можно по одному из двух правил составить систему дифференциальных уравнений

6. Если марковский процесс однороден (т.е.пуассоновские потоки стационарны), то плотности вероятностей переходов в системе1 не

зависят от времени t; в
противном случае представляют собой
некоторые функции времени:
.

7. Система1 решается при начальном распределении вероятности , …, удовлетворяющих первоначальную условию Решением системы1 так же

должно удовлетворять
первоначальному условию
в любой момент времени t.

8. Теорема1 Предельные вероятности процесса гибели и размножения с непрерывным временем можно вычислить по следующим формулам:

9. Замечание

1) В терминах матрицы плотностей вероятностей переходов Λ правом часть
формулы 3 представляет собой отношение произведений элементов над
диагонали к произведению элементов под диагональю квадратной
матрицы k порядка, составленной из первых k строк и первых k столбцов
матрицы Λ.
2) В терминах размеченного графа состояний системы S (рис.2) правая
часть формулы 3 есть дробь, числитель которой представляет собой
произведение всех плотностей вероятностей переходов по стрелкам с лева
на право, начиная с первого и кончая k состояние, а знаменатель суть
произведений всех плотностей вероятностей обратных переходов по
стрелкам с права на лево с состояния
до состояния
3) В формулах 2 все предельные вероятности
выражены через
предельную вероятность
Можно было бы выразить их через любую
другую предельную вероятность.

10. Замечание

4) Часто нумерацию состояний системы S начинают не
с единицы, а с нуля
В этом случае формулы
2 и 3 приобретают собственно вид:

11. Занумеруем состояние системы S по числу отказавших узлов: - отказавших узлов нет, все узлов исправны; - один узел отказал

(восстанавливается), остальные n-1;
- два узла отказали (восстанавливаются), остальные n-2 узла
исправны;
……
- n-1 отказали (восстанавливаются), один узел исправен;
- все n узлов отказали (восстанавливаются).
Граф состояния системы S представлен на рис.3.

12. Теорема 2 Для предельных вероятностей , k=0,n справедливы следующие формулы

13. Пример

В группе финансово-экономической информации финансовой
компании используются три компьютера, каждый из которых
независимо от других может выходить из строя. Поток отказов
компьютера – простейший. Среднее время безотказной работы
компьютера
= 120 часов.
Вышедший из строя компьютер немедленно начинает
ремонтироваться (восстанавливаться). Поток восстановлений
простейший. Среднее время ремонта компьютера
=6 часов.
Найти среднюю эффективность работы группы финансовоэкономической информации, если при трех функционирующих
компьютерах она равна 100%, при двух – 60%, при 1-30%, а при
неработающих компьютерах – 10%

14. В качестве системы S рассмотрим совокупность трех компьютеров. Состояния системы S занумеруем по числу отказавших компьютеров:

– к компьютеров отказали
(находится в ремонте), а 3–к компьютеров работают,
к=0,1,2,3. Данная ситуация целиком вкладывается в
рассмотренную выше модель – процессы гибели и
размножения, если в качестве “узла” считать компьютер и
положить n=3. Поэтому формулы 6 при n=3 дают
возможность сразу подсчитать предельные вероятности
состояний системы S:

15. Т.о., в установившемся стационарном предельном режиме вероятней всего что все три компьютера будут исправно работать. Чтобы

подсчитать среднюю эффективность работы группы
финансово-экономической информации, рассмотрим
дискретную СВ Х, представляющую собой среднюю работу
этой группы в каждом из состояний и
выраженную в %. Тогда в силу условий примера ряд
распределения CB Х будет такой

16. Т.е. СВ Х может принимать значение 100% с вероятностью =0.8638; 60% с вероятностью = 0.1296; 30% с вероятностью =0.0065, и 10%

с
вероятностью
=0.0001.
Средняя эффективность работы системы S равна
математическому ожиданию М[X] СВ Х:

17. И так, средняя эффективность работы группы финансово-экономической информации установившемся в предельном стационарном режиме

работы компьютеров достаточно
высокая 94.352%.