функции_Целая_часть_числа,_Дробная_часть_числа

1. Целая и дpoбная части числа

ЦЕЛАЯ И ДPOБНАЯ
ЧАСТИ ЧИСЛА

2. В математике, целая часть вещественного числа x — это округление x до ближайшего целого в меньшую сторону. Целая часть числа

также
.
называется антье (фр. entier), или пол (англ. flооr). Наряду с полом
существует парная функция — потолок (англ. ceiling) — округление x до
ближайшего целого в большую сторону.
3,8 3,
3,8 4
3,8 4, 3,8 3
График функции «пол»
График функции «потолок»

3. Символ [x] был введён К.Гауссом в 1808 г.

Функция целой части числа была
введена Адриеном Мари Лежандром
в 1798 г. Именно в честь него
функцию y = [x] называют
французским словом "Антье" (фр.
«entier» -целый)

4.

Целой частью числа x называется наибольшее целое число
n, не превышающее x. Целая часть числа x обозначается
символом [x] или (реже) E(x) (от фр. entier "антье"). x находится
в интервале [[x]; [x]+1). Значит, х≤ [x] < [x] + 1.
Целая часть числа обладает рядом важных свойств::
1.
Если х – целое число, то [х]=х.
2. Если а – целое число, то [x±а]=[x]±а;
3.
Для любых целых чисел х и у справедливо [x+y]≥[x]+[y];
4.
Если [x]=[y], то [x-y]<1.
Разность между x и целой частью х, называют
дробной частью числа x и обозначают {x}.
Таким образом {x} = x - [x], а следовательно x = [x] + {x}.
Свойства дробной части числа:
•Дробная часть числа всегда неотрицательна и не
превышает 1, т.е.
х 0; 1

5. Пользуясь определением целой и дробной части числа, решим следующие задачи.

1) Вычислить:
■ [2,81] = 2;
[7,1]=7;
■ [- 0,2] = -1;
[- 2,6] = -3;
■ {2,81} = 0, 81;
{4,3}=0,3;
■ {5}=0;
{-8}=0;
■ [6]=6;
[-19]=-19;
■ {-0,2} = -0,2-[-0,2]=-0,2-[-1]=-0,2+1=0,8;
■ {-7,29}=-7,29-[-7,29]=-7,29+8=0,71
3) Что больше: [а] или {а}?
Т.к. а , а 0; 1 , то
[a]>{a}, если а ≥ 1 и {a} ≥ [a], если а < 1.
2) Какими могут быть числа х и у,
если:
■
а) [х + у] = у;
Т.к. [х + у] – целое число, то у- целое
число. Воспользуемся свойством 2.
[х + у]= [х ]+у=(по условию)=у. Значит,
[х]=0. По определению получаем
x 0; 1 у
■
б) {х - у} = х;
Т.к. {х - у} – дробное неотрицательное
число, то x . 0; 1 Пользуясь
определением {х - у}, выясним, что унеположительные целые числа.
Получаем
x 0; 1 , у=0; -1; -2; -3; ….

6. Функция y=[x], ее свойства и график

7. Функция y={x}, ее свойства и график

8. Уравнение с переменной под знаком целой и дробной части числа

Простейшие уравнения
Среди простейших уравнений с переменной под знаком целой части,
чаще всего встречаются уравнения вида [f(x)]=a или {g(x)}=a.
Уравнения такого вида решаются по определению:
■ 1)
а ≤ f(х) < а +1 , где а - целое число.
Если а - дробное число, уравнение [f(x)]=a не будет иметь корней.
■ 2) Уравнение {g(x)}=a имеет решение при а 0; 1
Будем использовать периодичность функции.

9. Решить уравнение

■ [x]=12.
■ Решить уравнение {2x+8} =2,45
Исходя из определения целой части
числа, находим,
Это уравнение решений не имеет
12≤x<12+1;
т.е. 12≤x<13.
Ответ: х