Лекция 13. Степенные ряды

1. Степенные ряды

Лекция 13

2. §1. Основные понятия

Функциональный ряд, членами которого являются степенные функции
аргумента х, называется степенным рядом, т.е. рядом вида
a0 a1 x a2 x ... an x ... an x n ,
2
n
(1.1)
n 0
где a0 , a1 , a2 ,..., an - известные действительные (комплексные) коэффициенты ряда
x R .
Говорят, что ряд (1.1) расположен по степеням х.
Рассматривают также степенной ряд, расположенный по степеням
( x x0 ) , т.е.
a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 ) ... an ( x x0 ) ... an ( x x0 ) n ,
2
n
n 0
где x0 - некоторая константа.
Ряд (1.2) можно привести к виду (1.1) с помощью замены x x0 z .
В дальнейшем будем рассматривать степенные ряды вида (1.1).
(1.2)

3. §2. Сходимость степенных рядов

Исследуем на сходимость степенной ряд вида (1.1), т.е.
a 0 a1 x a 2 x ... a n x ... a n x n .
n
2
(2.1)
n 1
Заметим, что такой ряд всегда сходится, по крайней мере, при x 0 (ряд (1.2)
сходится при х x0 ).
Областью сходимости степенного ряда (2.1) называется совокупность тех
значений х , при которых этот ряд сходится.
Теорема Абеля
1) Если степенной ряд (2.1) сходится при x x0 0 , то он абсолютно сходится при
всех значениях х , удовлетворяющих неравенству x x0 , ( x0 x x0 ).
2) Если степенной ряд (2.1) расходится при x x1 , то он расходится при всех х ,
x x1
.
x x1
удовлетворяющих неравенству x x1

4.

Из теоремы Абеля следует, что существует такое число R 0 , что при
x R ряд сходится, а при x R - расходится.
? абсолютно сходится ?
расходится
-R
R
расходится
x
Число R называется радиусом сходимости, а интервал R, R интервалом сходимости степенного ряда.
На концах интервала сходимости, т.е. x R и x R сходимость ряда
проверяется отдельно.
Итак, чтобы найти область сходимости степенного ряда, надо найти
интервал сходимости R, R и исследовать сходимость ряда при x R и x R .
Для нахождения радиуса сходимости
рассмотрим ряд из модулей его членов:
R
a0 a1 x a2 x 2 ... an x n ...
степенного ряда
(2.1)
(2.2)

5.

Если этот предел существует, то он и является радиусом сходимости ряда
(2.1), т.е.
an
.
a
n
n 1
R lim
(2.3)
Аналогично, используя радикальный признак Коши, можно показать, что
радиус сходимости можно найти по формуле
R
1
lim
n
n
an
.
(2.4)
Замечание.
1)
Если ряд имеет вид
a0 a1 x a2 x
p
2p
... an x ... an x np ,
где P 2, 3, (целые положительные), то
np
n 0
an
.
n a
n 1
R p lim
(2.5)

6.

1)
Область сходимости степенного ряда может состоять только из
одной точки R 0 или может охватывать всю ось ОХ ( R ) .
xn
Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда n .
n 1 n 5
Найдем радиус сходимости по формуле (2.3), т.е.
an
.
n a
n 1
R lim
Здесь a n
1
1
,
a
,
n
1
n 5n
(n 1) 5 n 1
тогда
(n 1) 5n 1
n 1
R lim
5
lim
5.
n
n n
n 5n
Тогда интервал сходимости ряда (-5;5).
?
?
-5
5

7.

Теперь исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.
При х 5 имеем ряд:
( 5) n ( 1) n
.
n
n
5
n
n 1
n 1
Этот ряд сходится по признаку Лейбница.
При х 5 имеем:
5n
1
- ряд сходится, т.к. гармонический.
n
n
n
5
n 1
n 1
Следовательно, область сходимости данного ряда [-5,5) .
( x 3) n
Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда 2
.
n 1 5n 1
zn
Полагая х 3 z , получим степенной ряд вида 2 .
n 1 5n 1
Найдем радиус сходимости этого ряда
an
5n 2 10n 6
R lim
lim
1.
2
n a
n
5n 1
n 1
Следовательно, интервал сходимости z 1;1 .
-1
1

8.

При z 1 имеем ряд:
( 1) n
.
2
5
n
1
n 1
Этот ряд сходится по признаку Лейбница.
При z 1 получим ряд
1
5n 1 .
2
n 1
Сравнивая этот ряд с обобщенным гармоническим сходящимся рядом
1
,
2
n 1 n
получим, что ряд
n 1
1
5n 2 1
также сходится.
zn
Поэтому, область сходимости для ряда 2
имеет вид [-1;1], т.е.
5
n
1
n 1
1 z 1 или 1 x 3 1,
отсюда область сходимости данного ряда
2 x 4 или x [2;4].