Застосування визначених і невласних інтегралів

1. Тема № 6. Інтегральне числення функції однієї змінної. Заняття №9. Застосування визначених інтегралів. Обчислення невласних

інтегралів .

2. План лекції

• 1. Застосування визначених інтегралів
(площа плоскої фігури, довжина дуги
плоскої лінії, площа поверхні обертання).
• 2. Невласний інтеграл з нескінченими
границями.
• 3. Невласний інтеграл від розривної функції.

3. Література

1.Базова:
[1.1.] Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика.- К.: Вища
школа, 1993.- 462с.
[1.4] Боровик О.В., Гащук І.В., Трасковецька Л.М. Вища
математика: інтегральне числення . Частина 3: Навчальний
посібник. - Хмельницький: Вид. НАДПСУ, 2015. – 470 с.
2. Допоміжна:
[2.1.] Болгов В.А., Демидович Б.П. та ін. Збірник задач з
математики для втузів. Спеціальні розділи математичного
аналізу - М.:Наука, 1981. – 368с.

4.

1-е навчальне питання. Застосування визначених
інтегралів (площа плоскої фігури, довжина дуги
плоскої лінії, площа поверхні обертання).
1. Площа плоскої фігури
Площа фігури, обмежена графіками неперервних функцій y f1 x
, y f 2 x та прямими х = а, х = в, якщо f1 x f 2 x ,
обчисляється за формулою
â
S f1 x f 2 x dx
a
Приклад №1. Знайти площу фігури, обмежену лініями
y 2 x 1,
2
1 2
y x x
2

5.

Розв’язання
2
1
2
2x 1
1 2
x x
2
2
1
0
1
1
2
x
1 2
2x 1 x x
2
2
2x 2 2 x 2 2x
3x 2 2 x 2 0
x1 0,463; x 2 0,863.
2

6.

S=
0.863
0.463
x 1 x2 2x2 1 dx 0.973
2
2. Довжина дуги плоскої лінії.
Якщо крива задана рівнянням y f x . Тоді
в
L 1 f x dx
2
a
Приклад №2. Знайти довжину дуги y 2 x3 ,
0 x 4
Розв’язання
y x3/ 2 , y
4
L
0
3 1/ 2
x
2
2
4
9
4 2 9
3
1 x1/ 2 dx 1 x dx 1 x
4
9 3 4
2
0
3/ 2
4
0
8
10 10 1
27

7.

3. Площа поверхні обертання.
:
Розглянемо тіло, яке утворюється внаслідок обертання кривої
y f x
навколо осі Ох, якщо
a x b
â
S 2 f ( x) 1 f ( x) 2 dx
a
Приклад №3. Обчислити площу поверхні обертання фігури
y 2x 1
y
навколо осі Ох і навколо осі Оу, якщо
Розв’язання.
1
2x 1
S
2
7
1
2
1
dx 117.286
2x 1 1
2 x 1
1 x 7

8.

2-е навчальне питання. Невласний інтеграл з
нескінченими границями.

9.

Якщо границі в означеннях невласних інтегралів існують,
то інтеграли вважаються збіжними. Якщо границі не існують
або рівні ∞, то інтеграли вважаються розбіжними.

10.

11.

3-є навчальне питання. Невласний інтеграл від розривної
функції.

12.

13.

14.

Завдання на самопідготовку:
а) опрацювати конспект;
б) вивчити матеріал за літературою
[1.1] Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика
- К.: Вища школа, 1993.- С. 365-380;
[1.4] Боровик О.В., Гащук І.В., Трасковецька
Л.М. Вища математика: інтегральне числення .
Частина 3: Навчальний посібник. - Хмельницький:
Вид. НАДПСУ, 2015. Блок Д . С.297 №1(а,б,в), С.
308 №1, С.311 №1, С.314 №1, С.318 №1;
в) підготуватись до наступного заняття.