Формулы приведения двойного угла (синус, косинус, тангенс и котангенс двойного угла) .Формулы сложения

1.

Синус, косинус, тангенс и котангенс углов и
Формулы
приведения двойного угла (синус, косинус, тангенс и котангенс
двойного угла) .Формулы сложения.
1.Рассмотрим единичную окружность в прямоугольной системе координат хОу.
Рисунок 2 – точки М1, М2 на единичной окружности
Точка М1 получена поворотом точки Р(1;0) на угол , а точка М2 на угол .Точки
М1и М2 будут симметричны относительно оси Ох, так как ось Ох делит
угол
пополам. Значит, у этих точек одна и та же абсцисса. Мы знаем, что
абсцисса точки на единичной окружности это косинус угла.
Значит
(1).
Ординаты точек
противоположные числа. А так как ордината точки на
единичной окружности это синус угла, то
(2).
Тангенс угла - это отношение синуса угла на косинус угла.
Получаем формулу
Аналогично доказывается, что
(3)
(4).
Преобразование отрицательных углов тригонометрических функций (четность и
нечетность)
Для того, чтобы избавиться от отрицательного значения градусной меры угла при
вычислении синуса, косинуса или тангенса, можно воспользоваться следующими
тригонометрическими преобразованиями (тождествами), основанными на принципах
четности или нечетности тригонометрических функций.
Как видно, косинус и секанс является четной функцией, синус, тангенс и котангенс
- нечетные функции.
Синус отрицательного угла равен отрицательному значению синуса этого же самого
положительного угла (минус синус альфа).

2.

Косинус "минус альфа" даст тоже самое значение, что и косинус угла альфа.
Тангенс минус альфа равен минус тангенс альфа.
Равенства (1)-(4) позволяют сводить значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса
отрицательных углов к вычислению их значений для положительных углов.
Например:
;
;
.
Обратите внимание: если нам нужно вычислить квадрат числа, то правила знаков не
применяем, так как в квадрате число всегда неотрицательно.
Например:
Примеры и разбор решения заданий
Пример 1. Упростим выражение
.
Пример 2. Докажем тождество
Преобразуем левую часть тождества
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Формулы приведения двойного угла (синус, косинус, тангенс и котангенс
двойного угла)
Если необходимо разделить угол пополам, или наоборот, перейти от двойного угла к
одинарному, можно воспользоваться следующими тригонометрическими
тождествами:
Преобразование двойного угла (синуса двойного угла, косинуса двойного угла и
тангенса двойного угла) в одинарный происходит по следующим правилам:
Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса на косинус одинарного
угла
Косинус двойного угла равен разности квадрата косинуса одинарного угла и
квадрата синуса этого угла

3.

Косинус двойного угла равен удвоенному квадрату косинуса одинарного угла минус
единица
Косинус двойного угла равен единице минус двойной синус квадрат одинарного угла
Тангенс двойного угла равен дроби, числитель которой - удвоенный тангенс
одинарного угла, а знаменатель равен единице минус тангенс квадрат одинарного
угла.
Котангенс двойного угла равен дроби, числитель которой - квадрат котангенса
одинарного угла минус единица, а знаменатель равен удвоенному котангенсу
одинарного угла
Тригонометрические формулы сложения углов
Тангенс и котангенс суммы углов альфа и бета могут быть преобразованы по
следующим правилам преобразования тригонометрических функций:
Тангенс суммы углов равен дроби, числитель которой - сумма тангенса первого и
тангенса второго угла, а знаменатель - единица минус произведение тангенса первого
угла на тангенс второго угла.
Тангенс разности углов равен дроби, числитель которой равен разности тангенса
уменьшаемого угла и тангенса вычитаемого угла, а знаменатель - единице плюс
произведение тангенсов этих углов.
Котангенс суммы углов равен дроби, числитель которой равен произведению
котангенсов этих углов плюс единица, а знаменатель равен разности котангенса
второго угла и котангенса первого угла.
Котангенс разности углов равен дроби, числитель которой - произведение
котангенсов этих углов минус единица, а знаменатель равен сумме котангенсов этих
углов.
Домашнее задание:
В учебнике: изучить п.27,28,29, стр.142-151, выполнить письменно
№479, №487, №508