Системы уравнений: способы решения

1.

Системы уравнений
Способы решения

2. Системы уравнений с двумя переменными.

Определение: Решением системы
уравнений с двумя переменными называется
пара значений переменных, обращающая
каждое уравнение системы в верное
равенство.
Решить систему уравнений – значит найти все
её решения или доказать, что решений нет.

3. Способы решения:

Способ подстановки
Способ сложения
Графический способ
Способ замены

4. Способ подстановки

1. Выразить из какого-нибудь уравнения
системы одну переменную через другую.
2. Подставить в другое уравнение системы
вместо этой переменной полученное
выражение.
3. Решить получившееся уравнение с одной
переменной.
4. Найти соответствующее значение второй
переменной.

5. Пример:

3 x y 7
2 y 5 x 3
1
Решим систему уравнений:
1.Выразим из первого уравнения y через x: y=7-3x.
2.Подставив во второе уравнение вместо y выражение
3x y 7
7-3х, получим систему: 2(7 3x) 5x 3
2
3.В системе (2) второе уравнение содержит только одну
переменную. Решим это уравнение: 14-6х-5х=3,
-11х= -11,
х=1.
4.Подставим в равенство у=7-3х вместо х число 1,
найдём соответствующее значение у: у=7-3 1,
у=4.
Пара (1;4) – решение системы (1).

6. Решите системы уравнений:

1. х 2 у 7
2 х 3 у 5
2.
x 5 y 6
2
x 3 y 4
5 y 8( x 3 y ) 7 x 12
3.
9 x 3( x 9 y ) 11y 46

7. Способ сложения

1. Умножьте почленно уравнения системы,
подбирая множители так, чтобы
коэффициенты при одной из переменных
стали противоположными числами.
2. Сложите почленно левые и правые части
уравнений системы.
3. Решите получившееся уравнение с одной
переменной.
4. Найдите соответствующее значение второй
переменной.

8. Пример:

5х 11у 8
Решим систему:
10 х 7 у 74
1.Умножим все члены первого уравнения на -2:
уравнение оставим без изменений, то коэффициенты при
10 х 22 у 16
в полученных
уравнениях будут противоположными
10 х 7 у 74
числами:
2.ТПочленно сложим и получим уравнение с одной переменной:
-29у=58.
3.Из этого уравнения находим, что
у=58/(-29)= -2.
4.Подставив во второе уравнение вместо у число -2,
Найдём значение х: 10х-7*(-2)=74,
10х=60,
х=6.
Ответ: х=6, у= -2

9. Решите системы уравнений:

1. 5 х 2 у 9
7 х 3 у 1
2.
0,5 0,2 у 7
1
1
х
у 0
10
3

10. Графический способ

1. Построить график функции, заданной
первым уравнением системы.
2. Построить график функции, заданной
вторым уравнением системы.
3. Определить координаты точек
пересечения графиков функций.

11. Пример:

2 х 3 у 5
3х у 9
Решим систему уравнений:
1.Построим график линейной функции
2х+3у=5.
Её графиком является прямая АВ.
2.Построим график линейной
функции 3х-у=-9.
A
Её графиком является прямая СD.
К
3.Графики пересекаются в точке
К(-2;3). Значит, система имеет
C
-2
Единственное решение:
х= -2, у=3
y
D
3
x
0
B

12. Способ замены

Пример: Решим систему
Сделаем замену: 3 х а, 3 у b
a b 4
Получим систему: a 3 b3 28
3 х 3 у 4
х у 28
Разложим левую часть второго уравнения на множители:
a 3 b3 (a b) (a 2 ab b 2 )- и подставим в него из первого уравнения
a b 4
.
Тогда
получим
систему,
равносильную
второй:
a b 4
2
2
a
ab
b
7
Подставляя во второе уравнение значение b, найденное из первого b 4 a
2
приходим к уравнению a 2 a(4 a) (4 a) 2 7 , т.е. a 4a 3 0
Полученное квадратное уравнение имеет два корня: a1 1и a2 3.
Соответствующие значения b таковы: b1 3 и b2 1.
Переходим к переменным х и у. Получаем: 3 x a1, т.е. x1 a13 1,
y1 b13 27 , x2 a23 27 , y b3 1 .
Ответ:(1;27), (27;1).
2
2

13. Решите системы уравнений:

1.
2 х у 5
х у 3
2.
6 х 3 3 у 4 10
4 3 у 4 5 6 х 6

14. Системы показательных уравнений

Пример: Решим систему уравнений
2 х 2 у 12
2 х у
3
3
Из второго уравнения системы находим 2х-у=1, откуда у=2х-1.
Подставляя вместо у в первое уравнение выражение 2х-1
1
х
2х
х
2 х 1
2
2
12 .
получим 2 2
12 , откуда
2
х
Обозначим 2 а , получим квадратное уравнение
2
а 2а 24 0 . Находим корни этого уравнения:
а1 6; а2 . 4
Уравнение замены 2 х 6 решений не имеет. Корнем
уравнения 2 х 4 является число х=2.
Соответствующее значение у=3.
Ответ:(2;3).

15. Решите системы уравнений:

1. х у 9
х
у
2 2 16
216
2. 6
х
у
3 3 12
х у

16. Системы логарифмических уравнений

lg( y x) lg 2
Пример: Решим систему уравнений log x 4 log 3 log y
2
2
2
Первое уравнение системы равносильно уравнению у-х=2, а
х 3
второе – уравнению
, причём х>0 и у>0. Подставляя
16 у
х
3
у=х+2 в уравнение
, получим х(х+2)=48, откуда
16
у
х 2 2 х 48 0 ,т.е. х= -8 или х=6.Но так как х>0, то х=6 и
тогда у=8. Итак, данная система уравнений имеет одно
решение: х=6, у=8.
Ответ: (6;8).

17. Решите системы уравнений:

1. х у 34
log 2 x log 2 y 6
2. log 4 ( х у) 2
log 3 х log 3 у 2 log 3 7