Алгоритмы 3D динамических процессов дифференциальные уравнения с частными производными

1.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
Основные понятия
Понятие разностных схем
Разностная схема уравнения теплопроводности
Алгоритм решения дифуравнений с частными производными методом сеток
Дифуравнение 2 порядка с частными производными Лапласа (эллиптическое)
Задача Дирихле

2. Дифференциальные уравнения с частными производными. Основные понятия

• Если искомые функции зависят от нескольких переменных и
уравнение содержит производные функции по этим
переменным, такие уравнения называются
дифференциальными уравнениями с частными производными

3.

Уравнение
переноса

4.

КР

5.

Построение
разностных
схем
K
Yj
Xi

6.

Пример реализации разностной схемы

7.

Пример построения разностной схемы уравнения
теплопроводности (параболическое)

8.

Заменим дифференцирование
разностями
двумя способами
1
2

9.

Далее составим разностные уравнения для всех узлов сетки, частности
i=1, J=0
i=2, J=0
Система
линейных
уравнений
относительно
неизвестных
………………………..
Начальные или
краевые условия

10.

Алгоритм решения дифференциальных уравнений
с частными
производными методом сеток.
1. Область определения функции разбивается
сеткой на узлы (граничные и внутренние).
2. Дифференциальное уравнение с частными
производными записывается в виде разностной схемы.
3. Для узлов записываются система уравнений с
использованием разностных схем.
4. В составленную систему уравнений дописываются
уравнения дополнительных
условий (начальные или краевые)
5. Полученная система линейных уравнений
решается относительно значений
функции в узлах. Полученные значения есть
решение дифуравнения с частными производными

11.

Дифференциальное уравнение второго порядка
с частными производными
Лапласа (эллиптическое)
КР

12.

В данном случае для
построения
разностной схемы будет
использована
следующая разностная схема
Алгоритм решения аналогичен предыдущему
KP

13.

Задача Дирихле
Уравнение Пуассона,
при F(x,y,z)=0 –
уравнение Лапласа

14.

Итерационный метод решения задачи Дирихле
Для каждого центрального узла записывается уравнение,
выражающее значение функции в этой точке
Значение функции в граничных узлах определяются исходя из
начальных условий

15.

Алгоритм решения задачи Дирихле итерационным методом
аналогичен методу Гаусса-Зейделля. Задаются некоторые
начальные значения , например, равными нулю. Далее
находятся первые итерационные значения неизвестных.
Полученные значения подставляются в эти же уравнения и
находятся вторые итерационные значения. Вычисления
продолжаются до тех пор, пока разница между предыдущим
и последующим значениями неизвестных для всех
неизвестных не станет равна или меньше заданной
погрешности.
end