21. Угол между прямой и плоскостью

1. Угол между прямой и плоскостью

2.

а — наклонная
ВМ — перпендикуляр из М на α
Точка В — основание перпендикуляра
Точка В — проекция точки М на α
АВ — проекция наклонной
A
a
M
B
α

3.

Определение
Проекцией точки на плоскость называется основание
перпендикуляра, проведённого из этой точки к плоскости, если точка
не лежит в плоскости, и сама точка, если она лежит в плоскости
M
A
a
B
α

4.

Теорема
Проекцией прямой на плоскость,
не перпендикулярную к этой
прямой, является прямая

5.

Теорема
Проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную
к этой прямой, является прямая
Дано:
M
β
M, A, B ∈ β
α ∩ β = a1
a
M1
Доказать:
a1 — проекция a
Доказательство:
М1 ∈ а, М1Р ∥ МВ
Т.к. Н=М1Р∩а1, то по Теореме 1 (п.16) Н1 = М1Р ∩ α
⇒ H = H1 ⇒
⇒ любая точка прямой а1 является проекцией
некоторой точки прямой а
⇒ прямая а1 проекция прямой а
a1
A
H1 H
B
P α

6.

Определение
Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую
и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой
и её проекцией на плоскость
a
∠АМH — угол между а и α
A
H
M
α

7.

Некоторые полезные выводы:
— Проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярной к плоскости,
является прямая;
— Проекцией отрезка на плоскость, не перпендикулярного к плоскости,
является отрезок, концами которого являются проекции концов отрезка;
— Проекцией прямой и отрезка на плоскость, перпендикулярных
к плоскости является точка;
— Угол между наклонной и плоскостью (между наклонной и её проекцией)
является наименьшим из всех углов, образованных этой наклонной с любой
прямой принадлежащей плоскости;
— Угол между перпендикуляром к плоскости и самой плоскостью равен 90°;
— Если данная прямая параллельна плоскости, то её проекцией
на плоскость является прямая, параллельная данной. В таком случае угол
между параллельными прямой и плоскостью считают равным 0°;
— Чтобы построить проекцию какой-нибудь фигуры F на плоскость, надо
построить проекции всех её точек на данную плоскость.

8.

9.

Задача 1
B1
Дано:
ABCDA1B1C1D1 — куб
A1
Найти: B1D^(ABC)
Решение:
1) B1B ⏊ (ABC)
2) По Теореме п.21: BD — проекция B1D
3) ∆ B1BD — прямоуг.
tg ∠BDB1 = B1B : BD
4) B1B = 1 (дм), то из прямоуг. ∆А1BD:
A
tg ∠BDB1 = 1/
C1
1 дм
1 дм
D1
B
C
D

10.

Задача 2
Дано:
SABCD — правильная пирамида
О — центр основания
Высота пирамиды SO = 35, боковое ребро SD = 37
S
Найти: диагонали основания (BD)
Решение:
OD — проекция SD
, т.к. АВСD — квадрат
37
35
ΔSOD — прямоуг. ⇒
⇒ OD2 + 352 = 372
OD2 = 372 – 352 =(37+35)(37-35)=72*2=144
OD = 12
BD = 12 · 2 = 24
A
Ответ: 24
D
12
C
24
O
B

11. Домашнее задание

• Прочитать п. 21 разобрать доказательство,
выучить теорему и определения
• Оформить презентацию в рабочую тетрадь
• Решить № 163, 165
• Сегодня прислать учителю фото своей
работы в МАХ, подписать Фамилию Имя