Лекция 3.3. Преобразование суммы в произведение и произведение в сумму. Выражение тригонометрических функции через тангенс половинног…

1.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СУММЫ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ В ПРОИЗВЕДЕНИЕ.
25.12.25
1

2.

Формулы сложения:
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin
tg tg
tg
1 tg tg
25.12.25
2

3.

Формулы двойного аргумента:
sin 2 2sin cos
2
2
cos 2 cos sin
2
cos 2 1 2sin
2
cos 2 2 cos 1
2tg n
,
n
Z
tg 2
2
4
2
1 tg
25.12.25
3

4.

Формулы половинного
аргумента:
1 cos
sin
2
2
1 cos
2
2
cos
2
1 cos 2sin
2
1 cos 2 cos 2
2
2
2
1 cos
2 n, n Z
tg
2 1 cos
2
1 cos
tg
, n, n Z
2
sin
25.12.25
sin
tg
, 2 n, n Z
2 1 cos
4

5.

№27.54: Решите уравнение 1 cos x 2sin
x
2
Решение: Воспользуемся формулой понижения
аргумента для косинуса:
x
x
2sin
2
2
x
x
sin 2 sin 0
2
2
x
x
sin sin 1 0
2
2
2sin 2
x
sin 2 0
sin x 1
2
25.12.25
x
2 n
x 2 n
2 2
x 2 n, n Z
x 4 n, n Z
Ответ : 2 n; 4 n, n Z
5

6.

№27.54: Решите уравнение1 cos x sin x sin
x
2
Решение: Воспользуемся формулой понижения аргумента
для косинуса и синуса:
x
2 x
2sin sin x sin
2
2
x
x
x
x
2sin 2 2sin cos sin
2
2
2
2
x
2 x
2 x
sin sin cos 0
2
2
2
x
x
sin 1 cos 0
2
2
x
x
sin
0
2
2 n
x 2 n, n Z
x 2 n x 4 n, n Z
cos x 1
2
2
25.12.25
Ответ : 2 n, n Z
6

7.

Решите уравнение (Всесибирская олимпиада 2017)
sin 2 x sin 2 2 x sin 2 3 x 2
Решение: Воспользуемся формулой понижения степени
sin 2 х
1 cos 2 х
2
1 cos 2 x 1 cos 4 x 1 cos 6 x
2
2
2
2
3 cos 2 x cos 4 x cos 6 x 4
cos 2 x cos 4 x cos 6 x 1
25.12.25
7

8.

Рассмотрим выражение
sin a b sin a b
sin a cos b cos a sin b
sin a cos b cos a sin b
2sin a cos b
sin a b sin a b 2sin a cos b
25.12.25
8

9.

sin a b sin a b 2sin a cos b
x y
a
a b x
2
Если
a b y
b x y
2
x y
x y
sin x sin y 2sin
cos
2
2
25.12.25
9

10.

Преобразовать в произведение: sin 50 sin 40
Решение : sin 50 sin 40
50 40
50 40
2sin
cos
2
2
2sin 45 cos 5 2 cos 5 .
25.12.25
10

11.

Рассмотрим следующую формулу:
sin x sin y sin x sin y
x y
x y
2sin
cos
2
2
x y
x y
2sin
cos
2
2
x y
x y
sin x sin y 2sin
cos
2
2
25.12.25
11

12.

x y
x y
sin x sin y 2sin
cos
2
2
x y
x y
sin x sin y 2sin
cos
2
2
25.12.25
12

13.

Выведем формулу суммы косинусов:
cos x cos y sin x sin y
2
2
x y
x y
2
2
2sin 2
cos 2
2
2
x y
x y
2sin
cos
2
2
2
x y
x y
2 cos
cos
2
2
25.12.25
x y
x y
cos x cos y 2 cos
cos
2
2
13

14.

Аналогично выводится формула разности
косинусов:
x y
x y
cos x cos y 2 cos
cos
2
2
x y
x y
cos x cos y 2sin
sin
2
2
25.12.25
14

15.

x y
x y
sin x sin y 2sin
cos
2
2
x y
x y
sin x sin y 2sin
cos
2
2
x y
x y
cos x cos y 2 cos
cos
2
2
x y
x y
cos x cos y 2sin
sin
2
2
25.12.25
15

16.

Выведем формулу суммы тангенсов:
sin x sin y
tgx tgy
cos x cos y
sin x y
sin x cos y sin y cos x
cos x cos y
cos x cos y
sin x y
tgx tgy
cos x cos y
25.12.25
16

17.

Выведем формулу разности тангенсов:
sin x sin y
tgx tgy
cos x cos y
sin x y
sin x cos y sin y cos x
cos x cos y
cos x cos y
sin x y
tgx tgy
cos x cos y
25.12.25
17

18.

Выучить наизусть:
x y
x y
sin x sin y 2sin
cos
2
2
x y
x y
sin x sin y 2sin
cos
2
2
x y
x y
cos x cos y 2 cos
cos
2
2
cos x cos y 2sin
tgx tgy
25.12.25
x y
x y
sin
2
2
sin x y
cos x cos y
sin x y
tgx tgy
cos x cos y
18

19.

Решите уравнение (Всесибирская олимпиада 2017)
sin 2 x sin 2 2 x sin 2 3 x 2
Решение: Воспользуемся формулой понижения степени
sin 2 х
1 cos 2 х
2
1 cos 2 x 1 cos 4 x 1 cos 6 x
2
2
2
2
3 cos 2 x cos 4 x cos 6 x 4
cos 2 x cos 4 x cos 6 x 1
cos 2 x cos 6 x cos 4 x 1
2 cos 4 x cos 2 х cos 4 х 1
2 cos 4 x cos 2 х cos 4 х 1
25.12.25
19

20.

2 cos 4 x cos 2 х cos 4 х 1
2 2 cos 2 2 x 1 cos 2 х 2сos 2 2 x 1 1
4 cos3 2 x 2 cos 2 2 х 2сos 2 x 0
2сos 2 x 2 cos 2 2 x cos 2 х 1 0
сos 2 x 0
cos 2 x 1
1
cos
2
х
2
25.12.25
n
x
,n Z
2
x
n
,
4 2
2
2
x
2
n
,
x n, n Z
2
2 х 2 n,
х n, n Z
3
6
Ответ :
4
n
2
;
2
n;
6
n, n Z
20

21.

Задания для закрепления изученного материала
№28.8. Представить в виде
произведения:
a ) sin 5 x 2sin 6 x sin 7 x
Решение : sin 5 x 2sin 6 x sin 7 x sin 5 x sin 7 x 2sin 6 x
2sin 6 x cos x 2sin 6 x 2sin 6 x cos x 1
2 x
2 x
2sin 6 x 2 cos 4sin 6 x cos
2
2
25.12.25
21

22.

Задания для закрепления изученного материала
№28.8. Представить в виде
произведения:
б )2 cos x cos 2 x cos 4 x
Решение : 2 cos x cos 2 x cos 4 x 2 cos x 2 cos 3 x cos x
3x
2 3x
2 cos x 1 cos 3 x 2 cos x 2 cos
4 cos x cos
2
2
2
25.12.25
22

23.

Задания для закрепления изученного материала
№28.11. Упростите выражение:
cos cos
sin sin
cos cos 2sin sin
Решение :
sin sin
2sin cos
sin
tg
cos
25.12.25
23

24.

Задания для закрепления изученного материала
№28.10. Упростите выражение:
sin 2 x sin 6 x
cos 2 x cos 6 x
sin 2 x sin 6 x 2sin 4 x cos 2 x
tg 4 x
Решение :
cos 2 x cos 6 x 2 cos 4 x cos 2 x
25.12.25
24

25.

Задания для закрепления изученного материала
№28.12. Упростите выражение:
sin x sin 2 x sin 3 x
cos x cos 2 x cos 3 x
sin x sin 2 x sin 3 x
sin x sin 3 x sin 2 x
Решение :
cos x cos 3 x cos 2 x
cos x cos 2 x cos 3 x
sin 2 x 2 cos x 1
2sin 2 x cos x sin 2 x
tg 2 x
2 cos 2 x cos x cos 2 x cos 2 x 2 cos x 1
25.12.25
25

26.

Задания для закрепления изученного материала
cos 68 cos 22
№28.14. Вычислите:
sin 68 sin 22
cos 68 cos 22 2sin 45 sin 23
Решение :
1
2sin 23 cos 45
sin 68 sin 22
25.12.25
26

27.

Задания для закрепления изученного материала
sin130 sin110
№28.14. Вычислите:
cos130 cos110
sin130 sin110 2sin120 cos10
Решение :
tg120 3
cos130 cos110 2 cos120 cos10
25.12.25
27

28.

Задания для закрепления изученного материала
7
sin
18
9
№28.14. Вычислите:
7
cos
cos
18
9
7 2
7 2
18 18
18 18
2sin
cos
7
2
2
sin
sin
18
9
Решение :
5
7
2sin
sin
cos
cos
4
36
18
9
sin
5
cos
36
4 1
5
2sin sin
4
36
2sin
25.12.25
28

29.

Задания для закрепления изученного материала
№28.19. Вычислите:
sin 20 sin 40 cos10
Решение : sin 20 sin 40 cos10
2sin 30 cos10 cos10 cos10 cos10 0
25.12.25
29

30.

Задания для закрепления изученного материала
№28.19. Вычислите:
cos85 cos 35 cos 25
Решение : cos85 cos 35 cos 25
2 cos 60 cos 25 cos 25 cos 25 cos 25 0
25.12.25
30

31.

Задания для закрепления изученного материала
№28.15. Вычислите:
1
sin x sin 3 x sin 5 x sin 7 x
если ctg 4 x
5
cos x cos 3 x cos 5 x cos 7 x
sin x sin 3 x sin 5 x sin 7 x
Решение :
cos x cos 3 x cos 5 x cos 7 x
sin 2 x sin 6 x
2sin 2 x cos x 2sin 6 x cos x
2 cos 2 x cos x 2 cos 6 x cos x cos 2 x cos 6 x
2sin 4 x cos 2 x
sin 4 x
tg 4 x
2 cos 4 x cos 2 x cos 4 x
25.12.25
ctg 4 x
1
tg 4 x 5.
5
31

32.

Задания для закрепления изученного материала
№28.16. Вычислите:
sin 2 10 sin 2 130 sin 2 110
Решение: Воспользуемся формулой понижения степени
1 cos 2 х
sin х
2
2
1 cos 20
2
1 cos 260
1 cos 220
2
2
3 cos 20 cos 260 cos 220 3 cos 20 cos80 cos 40
2
2
3 cos 20 2 cos 60 cos 20
3 cos 20 cos 20
1,5
2
2
25.12.25
32

33.

Задания для закрепления изученного материала
№28.16. Вычислите:
cos 2 35 cos 2 25 cos 2 5
Решение: Воспользуемся формулой понижения степени
1 cos 2 х
cos х
2
2
1 cos 70
2
1 cos 50 1 cos10
2
2
1 2 cos 60 cos10 cos10
1 cos 70 cos 50 cos10
2
2
25.12.25
1 cos10 cos10 1
2
2
33

34.

Задание на оценку:
Вычислите:
sin 8 x sin 9 x sin10 x sin11x cos8 x cos 9 x cos10 x cos11x
cos8 x cos 9 x cos10 x cos11x sin 8 x sin 9 x sin10 x sin11x
25.12.25
34

35.

Спасибо за внимание.
25.12.25
35