82a5a7a1ab984760a6759f9e86d15348

1. Тригонометрические уравнения

sin x=a,cos x=a,tg x=a,ctg x=a
http://aida.ucoz.ru

2. С помощью тригонометрической окружности найти все значения из промежутка [-2π; 2π] для следующих выражений

arcsin 0,
arcsin

3. Верно ли равенство

1 π
а ) arccos = ;
2 3
3 11π
г ) arcsin
=
;
2
6
2
б ) arcsin( )=
2
π
;
4
2
3π
д) arccos( )= .
2
4
3
в ) arccos( )=
2
π
;
6
π
е)arctg 3 = .
3

4. Имеет ли смысл выражение:

5. Решение простейших тригонометрических уравнений.

6.

Чтобы успешно решать простейшие
тригонометрические уравнения нужно
1) уметь отмечать точки на числовой
окружности;
2) уметь определять значения синуса, косинуса,
тангенса и котангенса для точек числовой
окружности;
3) знать свойства основных
тригонометрических функций;
4) знать понятие арксинуса, арккосинуса,
арктангенса, арккотангенса и уметь отмечать их
на числовой окружности.
26.11.2025
6

7. 1. Найти координаты точки М, лежащей на единичной окружности и соответствующей числу

π
3
3
2
3
2
1
2
π
3

8. 2. Дана точка М с абсциссой ½. Найдите ординату этой точки; укажите три угла поворота, в результате которых начальная точка

(1;0) переходит в точку М
М
3
2
1
2
π
3
π
7π
+ 2π =
3
3
π
5π
-2π = 3
3

9. 3. Дана точка М с абсциссой -½. Найдите ординату этой точки; укажите три угла поворота, в результате которых начальная точка

(1;0) переходит в точку М
М
3
2
1
2
2π
3
2π
8π
+ 2π =
3
3
2π
26π
+ 8π =
3
3

10. Решите уравнение

π
4
2
2
π
4
2
cos x =
2
π
х = + 2πп, п ∈ Z
4
π
х = - + 2πп, п ∈ Z
4

11. Решите уравнение

5π
6
cos x =
3
2
5
6
3
2
5π
х=
+ 2πп, п ∈ Z
6
5π
х=
+ 2πп, п ∈ Z
6

12.

Арккосинусом числа а
называют такое число
из промежутка
[0;π ], косинус
у
π-arccos
a
1
arccos
а
которого равен а
х
π
-а
0
а
-1
arccos (-a)= π -arccos a
0

13.

y
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos х = a.
1)
1
а >1
1
-1
x
Нет точек пересечения с
окружностью.
Уравнение не имеет решений.
1

14.

y
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos х = a.
2)
1
а =1
1
0
cos х = 1
х = 2πn
1
0
cos х = -1
х = π+2πn
n∈ Z
1
Частные
решения
x

15.

y
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos х = a.
3) а = 0
x
2
1 2
1
0
1
x
n n Z
2
Частное
решение

16.

Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos х = a.
4)
y
1
а 1
arccos а
Корни, симметричные
относительно Оx
1
могут быть записаны:
а
x
arccos a 2 n
х
arccos a 2 n
или
х = ± arccos a+2πn
1
-arccos а
1
Общее решение

17. Уравнение cos х = a называется простейшим тригонометрическим уравнением

Решается с помощью единичной окружности
х
1. Проверить условие | a | ≤ 1
y
1
a
0
-1
1
x
2. Отметить точку а на оси
абсцисс (линии косинусов)
3. Провести перпендикуляр
из этой точки к окружности
4. Отметить точки
пересечения перпендикуляра
с окружностью.
5. Полученные числа–
решения уравнения cosх = a.
6. Записать общее решение
уравнения.
-х1
х х1 2 n
n Z

18. Уравнение cos t = a

• a) при -1< a < 1
• t = ± arсcos a + 2πn, n ϵ Z ;
• б) при а = 1 имеет одну серию решений
t = 2πn, n ϵ Z ;
• в) при а = -1 имеет одну серию решений
t = π + 2πn, n ϵ Z ;
• г) при а = 0
• t=
+ πn, n ϵ Z.
д) при а > 1 и a < -1 уравнение не имеет корней.

19. Решите уравнение

1) cos х =
1
2
2) cos х = -
1
2

20. Решите уравнение

3) cos 4x = 1
4x = 2πn, n ϵ Z
4)

21. Решите уравнение

.
Решите уравнение
5)

22. Уравнение sin t = a

Уравнение
a)
sin t = a
при -1< a< 1 имеет две серии корней
t1 = arсsin a + 2πn, n ϵ Z
t 2 = π - arсsin a + 2πn, n ϵ Z.
Эти серии можно записать так
t = ( -1) n arсsin a + π n, n ϵ Z ;
б) при а = 1 имеет одну серию решений
t=
+ 2πn, n ϵ Z
в) при а = -1 имеет одну серию решений
t= + 2πn, n ϵ Z;
г) при а = 0 имеет две серии корней
t1 = 2π n, n ϵ Z,
t2 = π + 2π n, n ϵ Z.
Обе серии можно записать в одну серию
t = πn, n ϵ Z ;
д) при а > 1 и a < -1 уравнение не имеет корней.

23. Уравнение tg t = a

при любом а ϵ R имеет одну серию решений
х = аrctg a + πn, nϵ Z.

24. Уравнение ctg t = a

при любом а ϵ R имеет одну серию решений
х = аrcctg a + πn, nϵ Z.

25. Подводим итоги

Значение а
cos x = a
sin x = a
tg x = a
ctg x = a
|a|>1
Ø
Ø
x=arctg a +πn
x=arcctg a +πn
|a|<1
x=±arccos a+2πn
x=(-1)ⁿarcsin a+πn
x=arctg a +πn
x=arcctg a +πn
a=1
x=2πn
x=π/2+2πn
x=π/4+πn
x=π/4+πn
a = -1
x=π+2πn
x=-π/2+2πn
x=-π/4+πn
x=3π/4+πn
a=0
x=π/2+πn
x=πn
x=πn
x=π/2+πn

26. №1. Решите уравнение

,,
1) sin х =
x = ( -1) n arсsin a + π n, n ϵ Z
x = ( -1)n
+ πn,
kϵ Z.

27. Решите уравнение

(;
Решите
,,;
2) sin х = -
уравнение
2
2
x = ( -1) n arсsin a + π n, n ϵ Z
x = ( -1)n ( -
+ πn, n ϵ Z
x = ( -1)n+1
+ πn, n ϵ Z

28. Решите уравнение

Решите
3) tg x =
х = аrctg
x=
уравнение
4) tg x = -
+ πn, nϵ Z.
+ πn, nϵ Z.
х = аrctg(x=-
) + πn, nϵ Z,
+ πn, nϵ Z.

29. Решите уравнение

5) ctg x = 1
6)
х = аrcctg 1 + πn, nϵ Z,
х = аrcctg ( -1) + πn, nϵ Z
х=
х = π - аrcctg 1 + πn, nϵ Z
+ πn, nϵ Z.
х=
ctg x = - 1
+ πn, nϵ Z.

30. №2. Найти корни уравнения:  

№2. Найти корни уравнения:
a) sin x =1 б) sin x = - 1 в) sin x = 0

31. №2. Найти корни уравнения:  

№2. Найти корни уравнения:
г) sin x =1,2
д) sin x = 0,7

32. №2. Найти корни уравнения:  

№2. Найти корни уравнения:
е)
ж)
з)
и)

33.

№3. Найти корни уравнения:

34.

Самостоятельная работа