Презентация_по_геометрии_Преобразование_подобия_9_класс

1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

ПОДОБИЯ

2.

Определения слова подобие:
Нечто похожее, сходное с чем-либо, напоминающее собою что-либо.
В этой конурке он приладил к стене узенькую трехногую кровать,
накрыв ее небольшим подобием тюфяка, убитым и плоским, как блин, и,
может быть, так же замаслившимся, как блин, который удалось ему
вытребовать у хозяина гостиницы.
Он показал на середину плаца, где стояло сделанное из сырой глины
чучело, представлявшее некоторое подобие человеческой фигуры,
только без рук и без ног.
У изголовья - столик из дощечки и кольев; на дощечке - подобие шкатулки,
а в ней все добро, все хозяйство Таганка; моток ниток, варежки,
тавлинка из бересты с нюхательным табаком…
Я решил, что если ближайший день не переменит всей этой злобной
нечистоты в хотя бы подобие спокойной жизни, - самое лучшее для меня
будет высадиться на первой же остановке.

3.

Определения слова подобие в математике:
Подобие – это понятие, характеризующее наличие
одинаковой, не зависящей от размеров, формы у
геометрических фигур.
Подобные фигуры – это фигуры, для которых
существует взаимно-однозначное соответствие,
при котором расстояние между любыми парами
их соответствующих точек изменяется в одно и
то же число раз.

4.

5.

6.

Преобразование подобия — это преобразование евклидова
пространства, при котором для любых двух точек A, B и их
образов A', B' имеет место соотношение | A'B' | = k | AB | ,
где k — положительное число, называемое коэффициентом
подобия.
Пусть дан многоугольник ABCD (рис. 2.439).
1. Возьмем произвольную точку О.
2. Построим векторы и т. д.
3. Многоугольник
будет подобным многоугольнику
(рис. 2.439).
В этом построении использовалось требование, при котором точка X переходит
в такую точку
, что
а точка о переходит в себя.
Таким образом, задача построения фигуры, подобной данной фигуре, приводит к
новому виду преобразований, которое называют гомотетией.

7.

8.

9.

10.

Определение:
Гомотетией с центром O и коэффициентом называют преобразование, при
котором каждая точка X переходит в точку , такую, что
Если при гомотетии фигура переходит в фигуру , то эти фигуры
называют гомотетичными.
Если k = 1, то каждая точка X перейдет сама в себя.
Если k > 0, то гомотетичные фигуры располагаются по одну сторону от центра
гомотетии (рис. 2.440, 2.441).
Если k < 0, то гомотетичные фигуры располагаются по разные стороны от
центра гомотетии (рис. 2.442).

11.

Если k = -1, то каждая точка А перейдет в точку , для которой (рис. 2.443). Но
такое преобразование — центральная симметрия. Значит, гомотетия с
коэффициентом -1 является центральной симметрией. Из определения
гомотетии следует:
1) Центр гомотетии переходит сам в себя.
2) Если k > 0 (рис. 2.440), то точки X и лежат на прямой ОХ по одну сторону от
центра гомотетии (так, векторы сонаправлены).
3) Если k < 0 (рис. 2.442), то точки X и лежат на прямой ОХ по разные стороны
от центра гомотетии (так, векторы противоположно направлены).
Имеет место теорема (смотри следующий слайд).

12.

Теорема 1:
Если при гомотетии с коэффициентом k точки X и У
переходят в точки X1 и Y1, то X1Y1=kXY.
Из этой теоремы можно получить три следствия — свойства
гомотетии:
Следствие 1. При гомотетии с коэффициентом k расстояние
между точками умножается на |k|.
Следствие 2. При гомотетии всякая прямая переходит в
параллельную ей прямую.
Следствие 3. Гомотетия всякую плоскость переводит в
параллельную ей плоскость.

13.

Теорема 2:
Гомотетичные треугольники всегда подобны.
Понятие преобразования подобия
Гомотетия фигур является частным случаем другого соответствия между
фигурами: соответствия подобия или, как его еще называют, преобразования
подобия.
Рассмотрим определение и некоторые свойства преобразований подобия.
Определение: Преобразование фигуры F называют преобразованием
подобия, если при этом преобразовании расстояния между
соответствующими точками изменяются в одно и то же число раз, т. е.
для любых двух точек X и У фигуры F и точек X', У фигуры F', в которые они
переходят, X'Y' = k * XY.
Преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в
полупрямые, отрезки в отрезки и сохраняет углы между полупрямыми.
Преобразование подобия переводит плоскости в плоскости.
Фигуры называют подобными, если они переводятся одна в другую
преобразованием подобия.
Это значит, что если произвольные точки X, Y фигуры F при преобразовании
подобия переходят в точки X', У' фигуры F', то X'Y' = k * XY, причем число k — одно
и то же для всех точек X, Y. Число k является коэффициентом подобия.

14.

Теорема 3: Всякое преобразование подобия сводится к последовательному
выполнению гомотетии с коэффициентом k и некоторой изометрии.
Используя определение преобразования подобия, а также определение и
свойства гомотетии, можно доказать следующую теорему.
Теорема 4: Гомотетия есть преобразование подобия.