Свойства функции

1. Свойства функции

2.

• Функция – зависимость переменной у
от переменной х, при которой каждому
значению переменной х соответствует
единственное значение переменной у.
• х- независимая переменная (аргумент)
• у- зависимая переменная (функция от х)

3.

• Графиком функции называется
множество точек координатной
плоскости, абсциссы которых
являются значениями аргумента, а
ординаты – соответствующими
значениями функции.

4. Схема исследования:

• Область определения D(f)
• Область значений E(f)
• Нули функции
• Промежутки знакопостоянства
• Промежутки монотонности
• Точки экстремума
• Ограниченность, набольшее и
наименьшее значения функции
• Четность и нечетность функции

5.

Область определения
функции D(f)
- множество допустимых
значений независимой
переменной х
назад

6.

Область определения функции
D( y) 8; 9

7.

Область значений функции
E(f)
-множество значений
зависимой переменной у
назад

8.

Область значений функции
E( y) 7; 7

9.

Нули функции
- значения аргумента х , при
которых значение функции равно
нулю, f(x )=0
назад

10.

Нули функции
f ( x) 0приx 6, 2,2,8

11.

Промежутки
знакопостоянства функции
- промежутки из области определения,
на которых функция у= f(х) принимает
положительные или отрицательные
значения, т.е. функция сохраняет знак,
f(x)>0 или f(x)<0
назад

12.

• Нули функции разбивают
область определения на
промежутки знакопостоянства

13.

Промежутки знакопостоянства функции
f ( x) 0, если x ( 6; 2); (2;8)

14.

Промежутки знакопостоянства функции
f ( x) 0, если x 8; 6 ; 2; 2 ; 8; 9

15.

Монотонность функции
Функция у=f(х) убывает на множестве X D(f),
если для любых x1 и x2 из множества X D(f)
(x1 < x2), выполнено неравенство
f (x1) > f (x2), меньшему значению аргумента
соответствует большее значение функции
Функция y=f(х) возрастает на множестве X D(f),
если для любых x1 и x2 из множества X D(f)
(x2 > x1), выполнено неравенство
f (x2) > f (x1), большему значению аргумента
соответствует большее значение функции

16.

Монотонность функции
f ( x)
x [ 8; 4]; [0;5]

17.

Монотонность функции
f ( x)
x [ 4;0]; [5;9]

18.

Точки экстремума функции
Точка x0 называется точкой минимума
функции y=f(х), если для всех x из
некоторой окрестности x0
выполнено
неравенство
f ( x) f ( x )
0
Точка x0 называется точкой максимума
функции y=f(х), если для всех x из
некоторой окрестности x0
выполнено
неравенство
f ( x) f ( x0 )

19.

Точки экстремума функции
xmax 4; xmax 5
xmin 0

20.

Экстремумы функции
Значение функции в точках максимума
называют максимумом функции.
Значение функции в точках минимума
называют минимумом функции.
Общее название – экстремумы функции.

21.

Экстремумы функции
f ( x) max 4;
f ( x) max 7
f ( x) min 4

22.

Наибольшее и наименьшее значения функции
f ( x) наим 7
f ( x) наиб 7

23.

• Функция y=f(x) называется ограниченной
снизу на множестве X D(f), если
существует такое число m, что для любых
х Х выполняется f(x)>=m
• y=m нижняя граница функции y=f(x)

24.

• Функцию y=f(x) называют ограниченной
сверху на множестве X D(f), если
существует такое число M, что для
любых х Х выполняется f(x)<=M
• y=M верхняя граница функции y=f(x)
• Если функция ограничена и снизу и сверху на
всей D(f), то ее называют ограниченной

25.

Ограниченность функции

26.

• Функция называется четной на D(f),
если противоположным значениям
аргумента соответствует одно и то же
значение функции, f(-x)=f(x).
• График четной функции симметричен
относительно оси ординат

27.

• Функция называется нечетной на D(f),
если противоположным значениям
аргумента соответствуют
противоположные значения функции,
f(-x)= - f(x).
• График нечетной функции симметричен
относительно начала координат (0;0).

28.

• Если числовое множество X вместе с
каждым своим элементом x содержит и
противоположный элемент –x, то такое
множество называется симметричным
множеством.
• Если функция y=f(x) четная или нечетная, то
ее область определения симметричное
множество.

29.

Четность и нечетность функции