Итеративное вычисление бесконечных сумм

1. ИТЕРАТИВНОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СУММ

2. Задача

• Напишите программу вычисления
приближенных значений функции,
представленной в виде ряда, в десяти
равноотстоящих друг от друга точках
указанного диапазона возможных значений
аргумента.
• Конкретную функцию каждый студент
берет из приведенного ниже перечня, при
этом номер функции равен порядковому
номеру студента в списке группы.

3. Что дано, что надо получить

• Входные данные:
начальная и конечная точки указанного
диапазона возможных значений аргумента.
• Результаты вычислений:
табличный вид

4.

Значение аргумента
x
Точность вычислений
eps
10-1
10-2
начальное значение
диапазона
10-3
10-4
10-5
10-6
10-1
10-2
10 точек
10-3
...
10-4
10-5
10-6
10-1
10-2
конечное значение
диапазона
10-3
10-4
10-5
10-6
Значение функции
f
Число итераций
n

5. Пример

n
x2 x3
xn
xk
f ( x) x
.
2
3
n
k 1 k
Члены последовательности:
1
x
a1 x
1
Следовательно:
xk
ak
k
x2
a2
2
x3
a3 ....
3
x k 1
При этом: a k 1
k 1
Как они соотносятся между собой?

6. Пример

n
x2 x3
xn
xk
f ( x) x
.
2
3
n
k 1 k
Следовательно:
xk
ak
k
x k 1
При этом: a k 1
k 1
Как они соотносятся между собой?
ak ak 1 Q, k 1.
ak
Q
, k 1.
ak 1

7. Пример

n
x2 x3
xn
xk
f ( x) x
.
2
3
n
k 1 k
Следовательно:
xk
ak
k
xk
a
x(k 1)
Q k kk 1
ak 1 x
k
k 1
x k 1
При этом: a k 1
k 1
x(k 1)
a k a k 1
.
k

8. Рекуррентное соотношение

,
Рекуррентное соотношение
n
x2 x3
xn
xk
f ( x) x
.
2
3
n
k 1 k
a1 x
Начальные значения в программе
x(k 1)
a k a k 1
, k 1.
k
Назовем сумму первых k слагаемых:
S1 x
Sk Sk 1 ak , 1 k n.
Вычисляются в цикле

9. Условие сходимости

,
Условие сходимости
n
x2 x3
xn
xk
f ( x) x
.
2
3
n
k 1 k
S1
S2
S3
При добавлении одного слагаемого за другим сумма (Si) постепенно приближается
к истинному значению функции для заданного значения аргумента (x).
Необходимым условием этого является
уменьшение абсолютного значения слагаемых с увеличением их номера.
abs(ak ) abs(ak 1 )
k k 1

10.

Значение аргумента
x
Точность вычислений
eps
Значение функции
f
K – количество
слагаемых
10-1
10-2
начальное значение
диапазона
Число итераций
n
10-3
10-4
10-5
10-6
Пока очередное
ak >=eps
S+= ak
10-1
10-2
10 точек
10-3
...
10-4
10-5
10-6
10-1
10-2
конечное значение
диапазона
10-3
10-4
10-5
10-6
Шаг для вычисления точек (B-A)/9, где А и B границы диапазона

11. Структура программы

1) Цикл по 10 точкам:
2) Начальные присвоения a1, k, S;
3)
4)
5)
Цикл точности от 1 до 6:
Пока очередное слагаемое ak > eps:
S += ak; Вычисление ak+1;
6) Для каждой точки (x) сделать проверку встроенными функциями
или просто подставить в исходную формулу
Массивы НЕ нужно использовать

12.

диапазон
НЕ нужно вычислять факториалы!!!
Посчитайте множитель для ak и ak-1, упростите выражение