Теорема косинусов

1. Теорема КОсинусов

ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ

2. Давайте вспомним!

ДАВАЙТЕ ВСПОМНИМ!
Мы знаем, как определить вид треугольника, если известны его углы.
Остроугольный треугольник — это треугольник, все углы которого
острые (то есть градусная мера каждого угла меньше девяноста
градусов).
Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один угол
прямой (то есть равен девяноста градусам).
Тупоугольный треугольник – это треугольник, в котором один угол
тупой (то есть больше девяноста градусов).

3. Теорема косинусов

ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ
Сформулируем и докажем теорему косинусов, которая даст нам
возможность:
1) находить длину стороны треугольника, если известны две другие
его стороны и угол между ними;
2) определять вид треугольника, зная длины его сторон.
Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме
квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение
этих сторон, умноженное на косинус угла между ними:
а2 = b2 + c2 – 2bc cos A

4. Доказательство теоремы косинусов

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ КОСИНУСОВ

5. Доказательство теоремы косинусов

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ КОСИНУСОВ
y
C (bcos A; bsinA)
a
b
A
c
B (c; 0)
x

6. Выводы:

ВЫВОДЫ:

7.

8.

9. Задача 1

ЗАДАЧА 1

10. Задача 2

ЗАДАЧА 2

11. Задача 3

ЗАДАЧА 3

12. Задача 4

ЗАДАЧА 4
Решите задачу по данным рисунка

13. Задача 5

ЗАДАЧА 5
Решите задачу по данным рисунка

14. Задача 6

ЗАДАЧА 6
В треугольнике АВС a=13, c=15, α=600.
Найти сторону b.
Решение:
Запишем теорему косинусов для этой задачи:
2
2
2
a =b +c −2⋅b⋅c⋅cosα
2
132=b +152−2⋅b⋅15⋅cos600
2
169=b +152−2⋅b⋅15⋅0,5
2
169=b +225−15b
2
b +225−15b−169=0
2
b −15b+56=0
2
D=(−15) −4⋅1⋅56=225−224=1
b1=8, b2=7
Эта задача имеет два решения, сторона b может равняться как семи так и восьми, если мы подставим
вместо b семь или восемь в формулу теоремы косинусов , то оба эти ответа будут справедливыми.
Ответ: 8 и 7

15. РеФЛЕКСИя

РЕФЛЕКСИЯ

16. ИТАК!

17. ИТАК!

18. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

Читать § 2, п. 102. Стр.256
Выполнить в тетради № 1025 (ж), 1031

19. Использованные источники

ИСПОЛЬЗОВАННЫЕ ИСТОЧНИКИ
https://skysmart.ru/articles/mathematic/teorema-kosinusov-i-sinusov
https://resh.edu.ru/subject/lesson/2041/main/
https://www.yaklass.ru/p/geometria/9-klass/sootnosheniia-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnika-skaliarnoe-
proizvedeni_-9222/sootnosheniia-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnika-9281/re-7ad3359e-27dd-4ae0-92728f1ce3e75ec2
https://planimetry-urok.sdamgia.ru/test?theme=86
http://ippo-vm.at.ua/1/teorema_kosinusov-olimpiada.pdf