Определители и их применения

1.

ТЕМА ЛЕКЦИИ:
«ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ»
1

2. ПЛАН ЛЕКЦИИ

1. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ КВАДРАТНОЙ
МАТРИЦЫ
2. МИНОРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ
ДОПОЛНЕНИЯ
3. СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
4. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ КРАМЕРА
2

3. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ

3

4. ОБОЗНАЧЕНИЯ

КВАДРАТНАЯ МАТРИЦА n-го ПОРЯДКА
a11
A
a
n1
a1n
ann
ОБОЗНАЧЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ МАТРИЦЫ
a11
a1n
an1
ann
A det A
4

5. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ МАТРИЦ 1-го и 2-го ПОРЯДКОВ

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ 1-го ПОРЯДКА
a11 a11
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ 2-го ПОРЯДКА
a11 a12
a11 a22 a21 a12
a21 a22
5

6. МНЕМОНИЧЕСКОЕ ПРАВИЛО

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ
2-го ПОРЯДКА РАВЕН
ПРОИЗВЕДЕНИЮ ЭЛЕМЕНТОВ
ГЛАВНОЙ ДИАГОНАЛИ
МИНУС
ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ
ПОБОЧНОЙ ДИАГОНАЛИ
6

7. МИНОРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ

7

8. МИНОР ЭЛЕМЕНТА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

МИНОРОМ ЭЛЕМЕНТА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ
НАЗЫВАЕТСЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ,
ПОЛУЧЕННЫЙ ИЗ ИСХОДНОГО
ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПРИ ПОМОЩИ
ВЫЧЕРКИВАНИЯ СТРОКИ И
СТОЛБЦА, В КОТОРЫХ
СТОИТ ЭТОТ ЭЛЕМЕНТ
8

9. ПРИМЕР ВЫЧИСЛЕНИЯ МИНОРА

МИНОР M 21 ЭЛЕМЕНТА a21 ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ
3 1 2
4 2 0
7 9 1
ВЫЧИСЛЯЕТСЯ ТАК:
1 2
1 2
M 21
1 18 19
9 1
9 1
9

10. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ

АЛГЕБРАИЧЕСКИМ ДОПОЛНЕНИЕМ Aij
ЭЛЕМЕНТА aij ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ
НАЗЫВАЕТСЯ ЧИСЛО
Aij ( 1)
i j
M ij ,
ГДЕ M ij МИНОР ЭЛЕМЕНТА aij
10

11. СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

11

12. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ЛЮБОЙ СТРОКЕ (ЛЮБОМУ СТОЛБЦУ)

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ
РАВЕН СУММЕ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
ЭЛЕМЕНТОВ ЛЮБОЙ СТРОКИ
(ЛЮБОГО СТОЛБЦА) НА ИХ
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
12

13. ПРИМЕР ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

РАЗЛОЖИМ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПО 2-й СТРОКЕ
3 1 2
1 2
3 2
4 2 0 ( 1) 2 1 ( 1) 2 2 0
7 9 1
9 1
7 1
( 1) ( 1 18) 1 (3 14) 19 11 8
13

14. МЕТОД ТРЕУГОЛЬНИКОВ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИ-ТЕЛЕЙ МАТРИЦ 3-го ПОРЯДКА

МЕТОД ТРЕУГОЛЬНИКОВ ДЛЯ
ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ МАТРИЦ 3-го ПОРЯДКА
a11
a22
a12
a33 a31
a23 a21
a32
a13
a22
a
31
a13 a12
a21
a11
a33 a32
a23
14

15. ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МЕТОДА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

2
5
3
3 4
1 3
2
1
2 1 1 3 ( 3) ( 3) 5 ( 2) 4
4 1 ( 3) 5 3 1 ( 2) ( 3) 2
2 27 40 12 15 12 26
15

16. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕУГОЛЬНОЙ МАТРИЦЫ РАВЕН ПРОИЗВЕДЕНИЮ ЭЛЕМЕНТОВ ГЛАВНОЙ ДИАГОНАЛИ

3 1 2
0 2 0 3 2 1 6
0 0 1
16