Математический аппарат квантовой механики. Общее уравнение Шредингера

1. Математический аппарат квантовой механики.Общее уравнение Шредингера

Понятие оператора. Свойства операторов. Собственные функции и
собственные значения операторов.
Принцип соответствия. Операторы квантовой механики. Оператор
Гамильтона (гамильтониан).
Принцип причинности. Общее (временное) уравнение Шредингера.

2.

Исааку Ньютону при создании своей механики потребовался математический аппарат –
дифференциальное исчисление. Законы квантовой механики могут быть лучше
сформулированы с помощью своей математики – математики операторов.
1. Понятие оператора. Свойства операторов
Определение. Оператором называется правило, закон, рецепт, с помощью которого каждой
функции f, из некоторого класса функций, ставится в соответствие другая функция φ, что
обозначается так:
Операторы обозначаются большими буквами со “шляпкой”. Равенство (1) читается: оператор
переводит функцию
f в φ.
Примеры. Оператор дифференцирования:
Оператор – умножения :

3.

Не на всякую функцию можно действовать всяким оператором.
Определение. Оператор считается заданным, если наряду с правилом, законом, указано
множество функций, на которые действует этот оператор. Такое множество называется
областью определения оператора.
Определение. Произведением двух операторов
и
называется оператор
,
действие которого на функцию сводится к последовательному действию сначала оператора
а потом оператора
на результат действия
или:
Пример:
или можно получить произведение операторов (эквивалентный оператор):
,

4.

Изменим порядок действия этих
операторов :
Поэтому, в общем случае операторы нельзя переставлять местами
Определение. Суммой двух операторов
и
называется оператор
действует на функцию
следующим образом:
Операторы равны,
ноль).
, если
или
, который
(оператор умножения на

5.

Определение. Выражение вида:
называется коммутатором операторов
и
. Если
, то говорят, что
операторы коммутируют. В противном случае операторы не коммутируют.
Пример: Показать, что
Операторы “набла” и дельта
Операторы в квантовой механике могут быть векторными, как, например, оператор
который определен на дифференцируемых функциях трех переменных:
где –
единичные, взаимно ортогональные векторы.
- набла,

6.

Под произведением двух векторных операторов подразумевают их скалярное произведение,
если не оговорено противное:
Полученный оператор носит название оператора Лапласа и обозначается греческой буквой
Δ. Он определен на функциях трех переменных, имеющих вторые частные производные.
Функции в квантовой механике могут быть и комплексными, так же, как и операторы
Например:

7.

Свойства квантовомеханических операторов
В квантовой механике имеют дело со специальными операторами, а именно: линейными и
самосопряженными (эрмитовыми).
Определение. Оператор
называется линейным, если:
где С1 и С2 – числа, а f1 и f2 – функции, на которых определен оператор
Определение. Самосопряженным или эрмитовым называется такой оператор
,
определенный на функциях
, для которого выполняется равенство:
где ( ) обозначает комплексное сопряжение функции и оператора, – совокупность
непрерывных переменных, которых может быть больше, чем одна, например,
.

8.

Собственные функции и собственные значения операторов и их свойства.
После действия оператора на функцию получается, вообще говоря, другая функция. Но,
иногда, функция, после действия на нее оператора изменяется не существенно, а лишь на
постоянный множитель.
В общем виде такое “действие” оператора на функцию можно записать:
Пример.
Определение. Величина
в уравнении носит название собственного значения оператора
Соответствующая этому собственному значению функция
, обозначаемая обычно
называется собственной функцией оператора
, принадлежащая собственному значению
.
,
.

9.

Совокупность собственных значений оператора
называется спектром собственных значений
этого оператора. Если оператор задан, то условие
можно рассматривать как уравнение для
нахождения собственных функций.
Определение. Если уравнение (
) имеет решение не при всех значениях , а только некоторых
(n = 1, 2, 3, …), то спектр собственных значений становится дискретным конечным, или нет:
а само уравнение приобретает вид:
n –натуральные числа.
Теорема. Если оператор
вещественные.
Доказательство:
самосопряженный, то его собственные значения
–

10.

Операторы квантовой механики
Принцип соответствия (постулат).
В квантовой механике всякой физической величине сопоставляется линейный самосопряженный
оператор. При этом говорят, что
есть оператор физической величины
.
Вид операторов в квантовой механике постулируется на основе согласования с опытными данными.
Оператор координат частиц:
Оператор импульса частиц
Между операторами в квантовой механике сохраняются те же соотношения, что и между
соответствующими им физическими величинами.
Кинетическая энергия:

11.

Оператор Гамильтона (гамильтониан)
В классической физике функцией Гамильтона, обозначаемой
энергии частицы:
где
– потенциальная энергия частицы. Если
представляет собой полную энергию частицы.
, называется выражение для
не зависит от времени
, то функция
По принципу соответствия запишем оператор потенциальной энергии:
Функции Гамильтона будет соответствовать оператор Гамильтона, или иначе – гамильтониан:

12.

Собственные функции основных операторов квантовой механики
Собственные функции оператора энергии
определяются уравнением:
Оператор энергии ( гамильтониан)
– важнейший оператор.
определяет все возможные
значения энергии квантовой системы
(спектр), а его собственные функции – возможные
волновые функции стационарных состояний

13.

Общее (временное) уравнение Шредингера
В квантовой механике волновая функция полностью определяет состояние физической системы, это
означает, что задание этой функции в некоторый момент времени не только описывает все свойства
системы в данный момент времени, но и определяет ее поведение во все последующие моменты.
Это утверждение носит название принципа причинности в квантовой механике. С точки зрения
математики, принцип означает, что производная по времени от волновой функции должна
определяться значением самой волновой функции
Данная связь постулируется в виде:
- оператор Лагранжа (лагранжиан)

14.

Принцип причинности:
Общее (временное) уравнение Шредингера:

15.

В стационарных состояниях гамильтониан совпадает с оператором полной энергии. Этот факт
позволяет разделить координатную и временную части волновой функции и получить
уравнение Шредингера для стационарных состояний.

16.

Интегрируем:
Подставим волновую функцию в уравнение
предварительно развернув оператор
Гамильтона

17.

- Уравнение Шредингера для стационарных состояний